로그 적분 li(x)란?
로그 적분 함수는 \(\operatorname{li}(x)\)로 표기하며, 0부터 x까지 \(1/\ln(t)\)를 적분한 값으로 정의되는 특수함수입니다. 이 함수는 해석적 정수론 전반에 등장하는데, 가장 널리 알려진 쓰임새는 소수 정리에서 소수 계량 함수 \(\pi(x)\)의 최고차 근사로 사용된다는 점입니다. 즉 x보다 작은 소수의 개수는 대략 \(\operatorname{li}(x)\)와 같습니다. 피적분 함수는 \(t = 1\)에서 극(pole)을 가지므로, \(x > 1\)인 경우 이 적분은 코시 주값(Cauchy principal value)으로 해석하며, 이것이 표준 정의입니다.
계산기 사용법
\(x > 0\)이고 \(x \ne 1\)인 임의의 실수 x를 입력하세요. 계산기는 \(\operatorname{li}(x)\)를 배정밀도(double precision) 수준의 정확도(유효숫자 약 15자리)로 반환합니다. 0과 1 사이의 x는 유한한 음수 값을 가지며, \(\operatorname{li}(0) = 0\), \(\operatorname{li}(1) = \) 음의 무한대(정의되지 않음으로 표시)입니다. \(x \le 0\)인 경우 실수 범위의 li는 정의되지 않습니다.
공식 설명
이 도구는 항등식 \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\)를 사용합니다. 여기서 Ei는 지수 적분(exponential integral)입니다. \(u = \ln(x)\)로 두고 오일러-마스케로니 상수 \(\gamma = 0.5772156649\)를 이용하면, 수렴하는 급수 $$\operatorname{li}(x) = \gamma + \ln|u| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{u^{k}}{k \cdot k!}$$를 계산할 수 있습니다. 이 급수는 0이 아닌 모든 실수 u에 대해 수렴하며, 각 항이 누적 합의 약 \(1\mathrm{e}{-18}\)보다 작아질 때까지 더해 나갑니다.
계산 예시
\(x = 2\)인 경우: \(u = \ln(2) = 0.6931472\), \(\ln|u| = -0.3665129\)이고, 급수의 합은 약 \(0.8344608\)입니다. 여기에 gamma를 더하면 $$\operatorname{li}(2) = 0.5772157 - 0.3665129 + 0.8344608 = 1.04516378$$이 되며, 이는 알려진 기준값 \(1.0451637801\)과 일치합니다.
자주 묻는 질문
li(1)은 왜 무한대인가요? t가 1로 다가갈 때 피적분 함수 \(1/\ln(t)\)가 발산하기 때문에, \(\operatorname{li}(x)\)는 \(x = 1\)에서 음의 무한대로 발산합니다.
li(x)가 0이 되는 지점은 어디인가요? 라마누잔-졸트너 상수, 즉 \(x \approx 1.4513692349\)에서 0이 됩니다.
li(x)와 Li(x)는 같은 함수인가요? 오프셋을 적용한 \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\)는 \(\operatorname{Li}(2) = 0\)이 되도록 정의하여 사용하기도 합니다. 이 계산기는 오프셋이 없는 \(\operatorname{li}(x)\)를 반환합니다.
