Qu'est-ce que le logarithme intégral li(x) ?
La fonction logarithme intégral, notée \(\operatorname{li}(x)\), est une fonction spéciale définie comme l'intégrale de \(1/\ln(t)\) entre 0 et x. On la rencontre partout en théorie analytique des nombres, et surtout comme approximation au premier ordre de la fonction de comptage des nombres premiers \(\pi(x)\) dans le théorème des nombres premiers : le nombre de premiers inférieurs à x vaut approximativement \(\operatorname{li}(x)\). Comme l'intégrande possède un pôle en \(t = 1\), l'intégrale pour \(x > 1\) s'interprète comme une valeur principale de Cauchy, ce qui constitue la définition usuelle.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez n'importe quelle valeur réelle x telle que \(x > 0\) et \(x \ne 1\). Le calculateur renvoie \(\operatorname{li}(x)\) en pleine précision double (environ 15 chiffres significatifs). Les valeurs de x comprises entre 0 et 1 donnent un résultat fini négatif ; \(\operatorname{li}(0) = 0\) et \(\operatorname{li}(1) = -\infty\) (signalé comme non défini). Pour \(x \le 0\), la fonction li à valeurs réelles n'est pas définie.
La formule expliquée
Cet outil s'appuie sur l'identité \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\), où Ei désigne l'exponentielle intégrale. En posant \(u = \ln(x)\) et avec la constante d'Euler-Mascheroni \(\gamma = 0{,}5772156649\), on évalue la série convergente
$$\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} = \gamma + \ln\!\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^{k}}{k \cdot k!}$$Cette série converge pour tout réel u différent de 0 ; on la somme jusqu'à ce que chaque terme passe sous environ \(1\mathrm{e}{-18}\) du total courant.
Exemple détaillé
Pour \(x = 2\) : \(u = \ln(2) = 0{,}6931472\), \(\ln|u| = -0{,}3665129\), et la série vaut environ \(0{,}8344608\). En ajoutant \(\gamma\), on obtient
$$\operatorname{li}(2) = 0{,}5772157 - 0{,}3665129 + 0{,}8344608 = 1{,}04516378$$ce qui correspond à la valeur de référence connue \(1{,}0451637801\).
FAQ
Pourquoi li(1) est-il infini ? L'intégrande \(1/\ln(t)\) diverge lorsque t tend vers 1 par valeurs supérieures, si bien que \(\operatorname{li}(x)\) tend vers moins l'infini en \(x = 1\).
Où li(x) s'annule-t-il ? À la constante de Ramanujan-Soldner, \(x \approx 1{,}4513692349\).
li(x) est-il identique à Li(x) ? La version décalée \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\) est parfois employée pour que \(\operatorname{Li}(2) = 0\) ; ce calculateur renvoie quant à lui \(\operatorname{li}(x)\) sans décalage.
