Qu'est-ce qu'un tronc de cône ?
Un tronc de cône est le solide obtenu lorsqu'on sectionne le sommet d'un cône par un plan parallèle à sa base. Il possède deux faces circulaires parallèles : une grande face inférieure de rayon \(r_1\) et une petite face supérieure de rayon \(r_2\), séparées par une hauteur perpendiculaire \(h\). Ce calculateur détermine le volume, l'aire latérale, l'aire totale et l'apothème (la hauteur oblique). Il s'agit de géométrie pure, qui fonctionne avec n'importe quelle unité de longueur, à condition de rester cohérent.
Comment l'utiliser
Saisissez le grand rayon (\(r_1\)), le petit rayon (\(r_2\)) et la hauteur perpendiculaire (\(h\)), puis choisissez une unité de longueur. Utilisez la même unité pour les trois mesures. Le volume est exprimé dans cette unité au cube, et les aires dans cette unité au carré. Mettez \(r_2 = 0\) pour modéliser un cône complet, ou \(r_1 = r_2\) pour obtenir un cylindre.
La formule expliquée
Le volume vaut $$V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2}\right).$$ L'apothème est la distance diagonale le long du côté : $$\ell = \sqrt{h^{2} + \left(r_1 - r_2\right)^{2}}.$$ L'aire latérale est $$S_{\text{lat}} = \pi\left(r_1 + r_2\right)\ell.$$ En ajoutant les deux disques de base, on obtient l'aire totale $$S = S_{\text{lat}} + \pi r_1^{2} + \pi r_2^{2}.$$
Exemple concret
Pour \(r_1 = 3\), \(r_2 = 2\), \(h = 5\) (en mètres) : \(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2} = 9 + 6 + 4 = 19\), donc $$V = \frac{\pi\cdot 5}{3}\cdot 19 \approx 99{,}4838\ \text{m}^3.$$ L'apothème \(\ell = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5{,}099\ \text{m}\). L'aire latérale \(S_{\text{lat}} = \pi\cdot 5\cdot 5{,}099 \approx 80{,}1037\ \text{m}^2\). Les deux disques ajoutent \(\pi\cdot 9 + \pi\cdot 4 \approx 40{,}8407\ \text{m}^2\), ce qui donne une aire totale \(S \approx 120{,}9444\ \text{m}^2\).
FAQ
L'ordre des rayons a-t-il une importance ? Non. L'apothème fait intervenir \(\left(r_1 - r_2\right)^{2}\), donc échanger les deux rayons donne exactement le même volume et la même surface.
Que se passe-t-il si le petit rayon est nul ? Le tronc de cône devient un cône complet, et les formules se réduisent au volume classique du cône \(V = \frac{\pi h}{3}r_1^{2}\) et à l'apothème \(\sqrt{h^{2} + r_1^{2}}\).
Et si les deux rayons sont égaux ? On obtient un cylindre, pour lequel \(\ell = h\), \(V = \pi r_1^{2}h\) et \(S_{\text{lat}} = 2\pi r_1\cdot h\).
