À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule le volume et la surface d'un ellipsoïde général (triaxial) — un solide aux contours arrondis défini par trois demi-axes a, b et c. La sphère en est le cas particulier où les trois demi-axes sont égaux, et le sphéroïde celui où deux d'entre eux le sont. L'outil fonctionne pour toute valeur positive et fournit des résultats dans des unités cohérentes : le volume en unité³ et la surface en unité².
Mode d'emploi
Saisissez les longueurs des trois demi-axes (la moitié de la largeur totale le long de chaque axe principal) dans la même unité — tout en centimètres, tout en pouces, comme vous le souhaitez. L'ordre n'a aucune importance : l'outil trie les axes en interne. Les trois valeurs doivent être strictement positives. Cliquez sur « calculer » pour obtenir les deux résultats.
Les formules expliquées
Le volume possède une forme exacte toute simple : $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ La surface, en revanche, est bien plus délicate : un ellipsoïde triaxial n'admet aucune formule élémentaire fermée pour son aire. La réponse exacte fait appel aux intégrales elliptiques incomplètes de première espèce \(F(\phi,k)\) et de deuxième espèce \(E(\phi,k)\). Après avoir trié les demi-axes de sorte que \(p \ge q \ge r\), on pose \(\cos\phi = r/p\) et \(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\), puis on évalue $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p q}{\sin\phi}\left(E\cdot\sin^{2}\phi + F\cdot\cos^{2}\phi\right)$$ Ce calculateur évalue F et E par intégration de Simpson composite à haute résolution, une méthode qui converge rapidement car les intégrandes sont régulières.
Exemple résolu
Pour a = 3, b = 2, c = 1 : $$\text{volume} = \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25{,}133 \text{ unité}^{3}$$ Le tri donne \(p = 3\), \(q = 2\), \(r = 1\), d'où \(\cos\phi = 1/3\), \(\phi \approx 1{,}23096\) rad et \(k^{2} = 27/32 = 0{,}84375\). Numériquement, \(F \approx 1{,}54125\) et \(E \approx 1{,}00526\), ce qui donne \(S \approx 48{,}88 \text{ unité}^{2}\).
Questions fréquentes
Pourquoi n'existe-t-il pas de formule simple pour l'aire ? Contrairement au volume, l'intégrale de surface d'un ellipsoïde triaxial ne peut pas s'exprimer à l'aide de fonctions élémentaires ; elle requiert intrinsèquement des intégrales elliptiques.
Et dans le cas d'une sphère ? Si les trois axes sont égaux, l'outil bascule directement vers \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) et \(S = 4\pi a^{2}\).
Les unités ont-elles de l'importance ? Utilisez la même unité pour les trois valeurs : le volume s'exprimera au cube et l'aire au carré dans cette unité.
