यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल एक सामान्य (त्रिअक्षीय) दीर्घवृत्ताभ का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालता है — यह एक चिकनी, गोलाई लिए हुए ठोस आकृति है जिसे तीन अर्ध-अक्षों a, b और c से दर्शाया जाता है। जब तीनों अक्ष बराबर हों तो यह एक गोला (sphere) बन जाता है, और जब दो बराबर हों तो यह एक गोलाभ (spheroid) कहलाता है। यह टूल किसी भी धनात्मक मान के लिए काम करता है और परिणाम एक-समान इकाइयों में देता है: आयतन इकाई³ में और पृष्ठीय क्षेत्रफल इकाई² में।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों अर्ध-अक्षों की लंबाई (प्रत्येक मुख्य अक्ष के साथ पूरी चौड़ाई का आधा) एक ही इकाई में दर्ज करें — चाहे सभी सेंटीमीटर में हों, सभी इंच में, या कोई भी इकाई। क्रम से कोई फ़र्क नहीं पड़ता; टूल अक्षों को अंदर ही व्यवस्थित कर लेता है। तीनों मान शून्य से बड़े होने चाहिए। दोनों परिणाम देखने के लिए 'calculate' दबाएँ।
सूत्रों की व्याख्या
आयतन का एक सरल और सटीक सूत्र है, $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ पर पृष्ठीय क्षेत्रफल कहीं ज़्यादा कठिन है: त्रिअक्षीय दीर्घवृत्ताभ का कोई प्रारंभिक बंद-सूत्र नहीं होता। इसका सटीक उत्तर प्रथम प्रकार के अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकलन \(F(\phi,k)\) और द्वितीय प्रकार के \(E(\phi,k)\) से निकलता है। अर्ध-अक्षों को इस तरह व्यवस्थित करके कि \(p \ge q \ge r\), हम रखते हैं \(\cos\phi = r/p\) और \(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\), फिर इसका मान निकालते हैं $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$ यह कैलकुलेटर F और E को उच्च-रिज़ॉल्यूशन वाले संयुक्त सिम्पसन समाकलन (composite Simpson integration) से निकालता है, जो तेज़ी से अभिसरित होता है क्योंकि समाकलन्य (integrands) चिकने होते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\): आयतन $$= \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25.133 \text{ इकाई}^{3}$$ व्यवस्थित करने पर \(p=3\), \(q=2\), \(r=1\) मिलता है, इसलिए \(\cos\phi = 1/3\), \(\phi \approx 1.23096\) रेडियन, \(k^{2} = 27/32 = 0.84375\)। संख्यात्मक रूप से \(F \approx 1.54125\) और \(E \approx 1.00526\), जिससे \(S \approx 48.88\) इकाई² प्राप्त होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्षेत्रफल का कोई सरल सूत्र क्यों नहीं है? आयतन के विपरीत, त्रिअक्षीय दीर्घवृत्ताभ के पृष्ठ का समाकलन प्रारंभिक फलनों (elementary functions) से व्यक्त नहीं किया जा सकता; इसके लिए दीर्घवृत्तीय समाकलन अनिवार्य रूप से ज़रूरी हैं।
गोले के बारे में क्या? यदि तीनों अक्ष बराबर हों, तो टूल सीधे \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) और \(S = 4\pi a^{2}\) पर आ जाता है।
क्या इकाइयाँ मायने रखती हैं? तीनों इनपुट के लिए एक ही इकाई का प्रयोग करें; आयतन उसी इकाई के घन में और क्षेत्रफल वर्ग में मिलेगा।
