शंकु छिन्नक क्या होता है?
शंकु छिन्नक, जिसे कटा हुआ शंकु (truncated cone) भी कहते हैं, वह ठोस आकृति है जो किसी शंकु के ऊपरी सिरे को उसके आधार के समानांतर काटकर हटाने पर बचती है। इसके दो समानांतर वृत्ताकार फलक होते हैं: \(r_1\) त्रिज्या वाला बड़ा निचला फलक और \(r_2\) त्रिज्या वाला छोटा ऊपरी फलक, जिनके बीच लंबवत ऊँचाई \(h\) होती है। यह कैलकुलेटर आयतन, पार्श्व (साइड) पृष्ठीय क्षेत्रफल, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और तिरछी ऊँचाई — सब निकाल देता है। यह पूरी तरह ज्यामिति पर आधारित है और किसी भी एक समान लंबाई इकाई के साथ काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
निचली त्रिज्या (r1), ऊपरी त्रिज्या (r2) और लंबवत ऊँचाई (h) दर्ज करें, फिर लंबाई की इकाई चुनें। तीनों मापों के लिए एक ही इकाई का प्रयोग करें। आयतन उसी इकाई के घन (cube) में और पृष्ठीय क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग (square) में मिलेगा। पूरे शंकु के लिए \(r_2 = 0\) रखें, और बेलन (सिलेंडर) के लिए \(r_1 = r_2\) कर दें।
सूत्र की व्याख्या
आयतन का सूत्र है $$V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2}\right)$$ तिरछी ऊँचाई किनारे के साथ की विकर्ण दूरी होती है: $$\ell = \sqrt{h^{2} + \left(r_1 - r_2\right)^{2}}$$ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S_{side} = \pi\left(r_1 + r_2\right)\ell\) होता है। दोनों वृत्ताकार सिरों को जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $$S = S_{side} + \pi r_1^{2} + \pi r_2^{2}$$ मिलता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r_1 = 3\), \(r_2 = 2\), \(h = 5\) (मीटर में): \(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2} = 9 + 6 + 4 = 19\), इसलिए $$V = \frac{\pi\cdot 5}{3}\cdot 19 \approx 99.4838 \ \text{m}^3$$ तिरछी ऊँचाई \(\ell = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5.099 \ \text{m}\)। पार्श्व क्षेत्रफल \(S_{side} = \pi\cdot 5\cdot 5.099 \approx 80.1037 \ \text{m}^2\)। सिरे जोड़ते हैं \(\pi\cdot 9 + \pi\cdot 4 \approx 40.8407 \ \text{m}^2\), जिससे कुल \(S \approx 120.9444 \ \text{m}^2\) प्राप्त होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या त्रिज्याओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। तिरछी ऊँचाई में \((r_1 - r_2)^{2}\) का प्रयोग होता है, इसलिए दोनों त्रिज्याओं को आपस में बदलने पर भी पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन वही रहते हैं।
अगर ऊपरी त्रिज्या शून्य हो तो? तब छिन्नक पूरा शंकु बन जाता है, और सूत्र मानक शंकु के सूत्रों में बदल जाते हैं — आयतन \(V = \frac{\pi h}{3}r_1^{2}\) और तिरछी ऊँचाई \(\sqrt{h^{2} + r_1^{2}}\)।
अगर दोनों त्रिज्याएँ बराबर हों तो? तब आपको एक बेलन (सिलेंडर) मिलता है, जहाँ \(\ell = h\), \(V = \pi r_1^{2}h\) और \(S_{side} = 2\pi r_1\cdot h\) होता है।
