Kesik koni nedir?
Kesik koni (İngilizcesiyle "truncated cone"), bir koninin tepesini tabanına paralel bir düzlemle kestiğinizde geriye kalan cisimdir. Birbirine paralel iki dairesel yüzü vardır: \(r_1\) yarıçaplı daha büyük bir alt yüz ve \(r_2\) yarıçaplı daha küçük bir üst yüz. Bu iki yüzü birbirinden dik yükseklik \(h\) ayırır. Bu hesaplama aracı; hacmi, yan yüzey alanını, toplam yüzey alanını ve yan kenar uzunluğunu bulur. Tamamen geometriye dayanır ve tutarlı şekilde kullandığınız her uzunluk birimiyle çalışır.
Nasıl kullanılır?
Alt yarıçapı (\(r_1\)), üst yarıçapı (\(r_2\)) ve dik yüksekliği (\(h\)) girin, ardından bir uzunluk birimi seçin. Üç ölçü için de aynı birimi kullanın. Hacim seçtiğiniz birimin küpü, yüzey alanları ise birimin karesi cinsinden verilir. Tam bir koni elde etmek için \(r_2 = 0\), bir silindir elde etmek için ise \(r_1 = r_2\) değerini kullanabilirsiniz.
Formülün açıklaması
Hacim $$V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2}\right)$$ şeklindedir. Yan kenar uzunluğu, yüzey boyunca uzanan eğik mesafedir: $$\ell = \sqrt{h^{2} + \left(r_1 - r_2\right)^{2}}.$$ Yan yüzey alanı $$S_{\text{yan}} = \pi\left(r_1 + r_2\right)\ell$$ olarak hesaplanır. Buna her iki dairesel yüzü de eklediğinizde toplam yüzey alanını elde edersiniz: $$S = S_{\text{yan}} + \pi r_1^{2} + \pi r_2^{2}.$$
Örnek hesaplama
\(r_1 = 3\), \(r_2 = 2\), \(h = 5\) (metre) için: \(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2} = 9 + 6 + 4 = 19\) olur, dolayısıyla $$V = \frac{\pi\cdot 5}{3}\cdot 19 \approx 99{,}4838 \text{ m}^3.$$ Yan kenar uzunluğu \(\ell = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5{,}099 \text{ m}\). Yan yüzey alanı \(S_{\text{yan}} = \pi\cdot 5\cdot 5{,}099 \approx 80{,}1037 \text{ m}^2\). Dairesel yüzler \(\pi\cdot 9 + \pi\cdot 4 \approx 40{,}8407 \text{ m}^2\) ekler ve toplam \(S \approx 120{,}9444 \text{ m}^2\) olur.
Sıkça sorulan sorular
Yarıçapların sırası önemli mi? Hayır. Yan kenar uzunluğu \((r_1 - r_2)^{2}\) ifadesini kullandığından, iki yarıçapın yerini değiştirmek aynı yüzey alanı ve hacim sonucunu verir.
Üst yarıçap sıfır olursa ne olur? Kesik koni tam bir koniye dönüşür ve formüller standart koni hacmi \(V = \frac{\pi h}{3} r_1^{2}\) ile yan kenar uzunluğu \(\sqrt{h^{2} + r_1^{2}}\) haline gelir.
İki yarıçap eşit olursa ne olur? Bir silindir elde edersiniz; burada \(\ell = h\), \(V = \pi r_1^{2} h\) ve \(S_{\text{yan}} = 2\pi r_1\cdot h\) olur.
