Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, genel (üç eksenli) bir elipsoidin hacmini ve yüzey alanını hesaplar — yani a, b ve c olmak üzere üç yarı eksenle tanımlanan, pürüzsüz ve yuvarlak bir cismin. Üç eksenin de eşit olduğu durum bir küre, yalnızca ikisinin eşit olduğu durum ise bir dönel elipsoiddir (sferoid). Araç tüm pozitif değerlerle çalışır ve sonuçları tutarlı birimlerle verir: hacmi birim³, yüzey alanını ise birim² olarak.
Nasıl kullanılır?
Üç yarı eksen uzunluğunu (her ana eksen boyunca tam genişliğin yarısını) aynı birimle girin — ister hepsi santimetre, ister hepsi inç olsun, fark etmez. Sıralama önemli değildir; araç eksenleri kendi içinde sıralar. Üç değerin de sıfırdan büyük olması gerekir. Hesapla'ya basarak her iki sonucu da görün.
Formüllerin açıklaması
Hacmin basit ve tam bir formülü vardır: $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ Yüzey alanı ise çok daha çetrefillidir: üç eksenli bir elipsoidin temel fonksiyonlarla ifade edilen kapalı bir alan formülü yoktur. Kesin sonuç için birinci tür \(F(\phi,k)\) ve ikinci tür \(E(\phi,k)\) eksik eliptik integraller kullanılır. Yarı eksenleri \(p \ge q \ge r\) olacak şekilde sıraladıktan sonra \(\cos\phi = r/p\) ve \(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\) alınır, ardından $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$ ifadesi hesaplanır. Bu hesaplayıcı, F ve E değerlerini yüksek çözünürlüklü bileşik Simpson integrasyonuyla bulur; integrandlar pürüzsüz olduğundan bu yöntem hızla yakınsar.
Çözümlü örnek
\(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\) için: hacim $$\text{hacim} = \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25{,}133 \text{ birim}^{3}$$ Sıralama \(p=3\), \(q=2\), \(r=1\) verir; dolayısıyla \(\cos\phi = 1/3\), \(\phi \approx 1{,}23096\) rad, \(k^{2} = 27/32 = 0{,}84375\) olur. Sayısal olarak \(F \approx 1{,}54125\) ve \(E \approx 1{,}00526\) bulunur ve bu da \(S \approx 48{,}88\) birim² sonucunu verir.
Sıkça sorulan sorular
Neden basit bir alan formülü yok? Hacmin aksine, üç eksenli bir elipsoidin yüzey integrali temel fonksiyonlarla ifade edilemez; doğası gereği eliptik integraller gerektirir.
Peki ya küre? Üç eksenin de eşit olması durumunda araç doğrudan \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) ve \(S = 4\pi a^{2}\) sonucuna geçer.
Birimler önemli mi? Üç giriş için de aynı birimi kullanın; hacim o birimin küpü, alan ise karesi cinsinden çıkar.
