Bu araç ne işe yarar?

Bu hesaplayıcı, herhangi bir gerçek u argümanı ve 0 ile 1 arasındaki bir k modülü için üç Jacobi eliptik fonksiyonunu — $\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ ve $\operatorname{dn}(u,k)$ — hesaplar. Bu fonksiyonlar, bildiğimiz trigonometrik fonksiyonların genelleştirilmiş hâlidir ve fizik ile mühendisliğin pek çok alanında karşımıza çıkar: bir sarkacın tam hareketi, solitonlar (KdV ve sine-Gordon denklemleri), eliptik filtre tasarımı ve konform dönüşümler gibi.

u'ya karşı çizilen sn, cn ve dn Jacobi eliptik fonksiyonlarının grafikleri — Üç Jacobi eliptik fonksiyonu sn, cn ve dn, u değişkeninin periyodik dalgaları olarak.

Modül, parametre ve açı tanımları

Hangi tanımı kullandığınız önemlidir. Bu hesaplayıcı, $0 \le k \le 1$ olacak şekilde k modülünü esas alır. İlişkili parametre $m = k^2$, modüler açı ise $\alpha = \arcsin(k)$ ile verilir. Kaynağınız m veya alpha kullanıyorsa önce dönüştürün: $k = \sqrt{m}$ ya da $k = \sin(\alpha)$. u argümanı ve tüm açılar radyan cinsindendir.

Nasıl kullanılır?

u argümanını (herhangi bir gerçek sayı) ve 0 ile 1 arasındaki k modülünü girin; ardından sn, cn ve dn değerlerini okuyun. Sonuç paneli ayrıca her ikisinin de 1 olması gereken iki tanım özdeşliğini gösterir — yerleşik bir doğruluk kontrolü.

Reklam

Formül ve algoritma

Genlik $\varphi = \operatorname{am}(u,k)$, $$u = \int_{0}^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}$$ bağıntısıyla örtük olarak tanımlanır. Buradan $\operatorname{sn} = \sin(\varphi)$, $\operatorname{cn} = \cos(\varphi)$ ve $\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \varphi}$ elde edilir. Hesaplayıcı bu integrali, kuadratik olarak yakınsayan ve yaklaşık dokuz adımda çift duyarlığa ulaşan azalan-Landen / Aritmetik-Geometrik Ortalama (AGM) yöntemiyle tersine çevirir. AGM yönteminin bozulduğu sınır durumlar — $k = 0$ ($\operatorname{sn} = \sin u$, $\operatorname{cn} = \cos u$, $\operatorname{dn} = 1$) ve $k = 1$ ($\operatorname{sn} = \tanh u$, $\operatorname{cn} = \operatorname{dn} = \operatorname{sech} u$) — kapalı biçimli ifadeleriyle ele alınır.

Sinüsü ve kosinüsü sn ile cn'yi veren genlik açısı phi'yi gösteren dik üçgen — Genlik açısı phi: sinüsü ve kosinüsü sn ile cn'yi verir.

Çözümlü örnek

$u = 1.0$ ve $k = 0.5$ alalım (yani $m = 0.25$). Genlik $\operatorname{am}(1, 0.5) \approx 0.95985$ rad olur; bu da $\operatorname{sn} \approx 0.81962$, $\operatorname{cn} \approx 0.57280$ ve $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25 \cdot 0.81962^2} \approx 0.91217$$ verir. Her iki özdeşlik de doğrulanır: $\operatorname{sn}^2 + \operatorname{cn}^2 \approx 1$ ve $\operatorname{dn}^2 + k^2\operatorname{sn}^2 \approx 1$.

Reklam

Sıkça sorulan sorular

Periyotlar nedir? sn ve cn fonksiyonlarının gerçek periyodu $4K(k)$, dn fonksiyonunun periyodu ise $2K(k)$'dır; burada $K(k)$ birinci tür tam eliptik integraldir.

Değerler hangi aralıkta yer alır? $|\operatorname{sn}| \le 1$, $|\operatorname{cn}| \le 1$ ve $k' \le \operatorname{dn} \le 1$ olur; burada $k' = \sqrt{1 - k^2}$ tümleyen modüldür.

k, 1'den büyük olabilir mi? Gerçek değerli Jacobi fonksiyonları $0 \le k \le 1$ koşulunu gerektirir; bu aralığın dışındaki k değerleri geçerli aralığa kırpılır.

Identity sn² + cn²	1 (should be 1)
Identity dn² + k²sn²	1 (should be 1)

Jacobi Eliptik Fonksiyonları sn, cn, dn Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Formül

Sonuç