這個計算器能做什麼
本工具可計算三個雅可比橢圓函數 — sn(u,k)、cn(u,k) 與 dn(u,k) — 適用於任意實數自變數 u，以及範圍在 0 到 1 之間的模數 k。這些函數是一般三角函數的推廣，廣泛出現在物理與工程領域：單擺的精確運動、孤立子（KdV 方程與 sine-Gordon 方程）、橢圓濾波器設計，以及保角映射等。
模數、參數與角度的慣例
慣例的選擇至關重要。本計算器採用模數 k，且 0 ≤ k ≤ 1。與其相關的參數為 m = k²，而模角則是 alpha = arcsin(k)。如果你手邊的資料用的是 m 或 alpha，請先換算：k = sqrt(m) 或 k = sin(alpha)。自變數 u 與所有角度皆以弧度（radian）為單位。
使用方法
輸入自變數 u（任意實數）與介於 0 到 1 之間的模數 k，即可讀取 sn、cn 與 dn 的值。結果面板還會列出兩個定義恆等式，兩者理論上都應等於 1 — 可作為內建的精度檢查。
公式與演算法
振幅 phi = am(u,k) 是由 u = ∫0phi dtheta / sqrt(1 − k² sin² theta) 隱式定義的。接著 sn = sin(phi)、cn = cos(phi)，而 dn = sqrt(1 − k² sin² phi)。本計算器採用下降式 Landen 變換／算術-幾何平均（AGM）法來反求此積分，該方法以二次收斂，約九步即可達到雙精度。對於極限情形 k = 0（sn = sin u、cn = cos u、dn = 1）與 k = 1（sn = tanh u、cn = dn = sech u），則直接套用其封閉形式，以避免 AGM 退化。
實例演算
取 u = 1.0、k = 0.5（即 m = 0.25）。振幅為 am(1, 0.5) ≈ 0.95985 弧度，由此得 sn ≈ 0.81962、cn ≈ 0.57280，以及 dn = sqrt(1 − 0.25 · 0.81962²) ≈ 0.91217。兩個恆等式皆成立：sn² + cn² ≈ 1，且 dn² + k²sn² ≈ 1。
常見問題
這些函數的週期是多少？sn 與 cn 的實週期為 4K(k)；dn 的週期為 2K(k)，其中 K(k) 是第一類完全橢圓積分。
各函數值的範圍如何？|sn| ≤ 1、|cn| ≤ 1，而 k' ≤ dn ≤ 1，其中 k' = sqrt(1 − k²) 為互補模數。
k 可以大於 1 嗎？實數值的雅可比函數要求 0 ≤ k ≤ 1；超出此範圍的 k 值會被截限至有效區間內。
