ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

تتيح لك هذه الأداة حساب دوال جاكوبي الإهليلجية الثلاث — $\operatorname{sn}(u,k)$ و$\operatorname{cn}(u,k)$ و$\operatorname{dn}(u,k)$ — لأي وسيط حقيقي $u$ ومعامل $k$ يقع ضمن المجال من 0 إلى 1. تُعدّ هذه الدوال تعميماً للدوال المثلثية المألوفة، وتظهر بكثرة في الفيزياء والهندسة: الحركة الدقيقة للبندول، والسوليتونات (معادلتا KdV وسين-غوردون)، وتصميم المرشحات الإهليلجية، والتحويلات المطابِقة.

رسوم بيانية لدوال ياكوبي الإهليلجية sn وcn وdn مرسومة بدلالة u — دوال ياكوبي الإهليلجية الثلاث sn وcn وdn كموجات دورية للمتغير u.

اصطلاحات المعامل والوسيط والزاوية

للاصطلاحات أهمية كبيرة هنا. تعتمد هذه الحاسبة على المعامل $k$ بحيث يكون $0 \le k \le 1$. أما الوسيط المرتبط به فهو $m = k^2$، والزاوية المعيارية هي $\alpha = \arcsin(k)$. إذا كان مصدرك يذكر $m$ أو $\alpha$، فحوّلهما أولاً: $k = \sqrt{m}$ أو $k = \sin(\alpha)$. يُعطى الوسيط $u$ وجميع الزوايا بالراديان.

طريقة الاستخدام

أدخل الوسيط $u$ (أي عدد حقيقي) والمعامل $k$ بين 0 و1، ثم اقرأ قيم $\operatorname{sn}$ و$\operatorname{cn}$ و$\operatorname{dn}$. كما تعرض لوحة النتائج المتطابقتين الأساسيتين اللتين يجب أن تساوي كل منهما 1 — وهي وسيلة مدمجة للتحقق من الدقة.

اعلان

الصيغة والخوارزمية

تُعرَّف السعة $\varphi = \operatorname{am}(u,k)$ ضمنياً بالعلاقة $$u = \int_{0}^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}.$$ ومن ثم: $$\operatorname{sn} = \sin(\varphi),\quad \operatorname{cn} = \cos(\varphi),\quad \operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2 \sin^2\varphi}.$$ تعكس الحاسبة التكامل باستخدام طريقة لاندِن النازلة / المتوسط الحسابي-الهندسي (AGM)، التي تتقارب تقارباً تربيعياً وتبلغ الدقة المضاعفة في نحو تسع خطوات. أما الحالتان الحديتان $k = 0$ (حيث $\operatorname{sn} = \sin u$ و$\operatorname{cn} = \cos u$ و$\operatorname{dn} = 1$) و$k = 1$ (حيث $\operatorname{sn} = \tanh u$ و$\operatorname{cn} = \operatorname{dn} = \operatorname{sech} u$) فتُعالَجان بصيغهما المغلقة لتفادي انحلال خوارزمية AGM.

مثلث قائم الزاوية يُظهر زاوية السعة phi التي يعطي جيبها وجيب تمامها sn وcn — زاوية السعة phi: جيبها وجيب تمامها يعطيان sn وcn.

مثال محلول

لنأخذ $u = 1.0$ و$k = 0.5$ (أي $m = 0.25$). تكون السعة $\operatorname{am}(1,\,0.5) \approx 0.95985$ راديان، ومنها $\operatorname{sn} \approx 0.81962$ و$\operatorname{cn} \approx 0.57280$ و $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25 \cdot 0.81962^2} \approx 0.91217.$$ وتتحقق المتطابقتان كلتاهما: $\operatorname{sn}^2 + \operatorname{cn}^2 \approx 1$ و$\operatorname{dn}^2 + k^2\operatorname{sn}^2 \approx 1$.

اعلان

الأسئلة الشائعة

ما هي الأدوار (الدورية)؟ للدالتين $\operatorname{sn}$ و$\operatorname{cn}$ دور حقيقي مقداره $4K(k)$، بينما دور الدالة $\operatorname{dn}$ هو $2K(k)$، حيث $K(k)$ هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول.

ما المجالات التي تأخذها القيم؟ $|\operatorname{sn}| \le 1$ و$|\operatorname{cn}| \le 1$، و$k' \le \operatorname{dn} \le 1$ حيث $k' = \sqrt{1 - k^2}$ هو المعامل المكمِّل.

هل يمكن أن يكون $k$ أكبر من 1؟ تتطلب دوال جاكوبي ذات القيم الحقيقية أن يكون $0 \le k \le 1$؛ وأي قيمة لـ $k$ خارج هذا المجال يجري قصرها (clamp) إلى المجال الصحيح.

Identity sn² + cn²	١ (should be 1)
Identity dn² + k²sn²	١ (should be 1)

حاسبة دوال جاكوبي الإهليلجية sn و cn و dn

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج