ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تُنشئ هذه الأداة جدولاً بقيم كثير حدود لوجاندر \(P_n(x)\) لدرجة \(n\) تختارها، مع حساب قيمته عند سلسلة من قيم \(x\) ورسم المنحنى المقابل لها. تحدّد أنت الدرجة، وقيمة البداية لـ \(x\)، ومقدار الخطوة (الزيادة)، وعدد الصفوف المطلوبة؛ فتُرجع لك الحاسبة كل زوج \((x, P_n(x))\) إضافةً إلى رسم خطّي. كثيرات حدود لوجاندر عائلة كلاسيكية من كثيرات الحدود المتعامدة على الفترة [-1، 1]، وتظهر في كل أنحاء الفيزياء والرياضيات التطبيقية — في حلول معادلة لابلاس، والمفكوكات متعددة الأقطاب، والتوافقيات الكروية، والتكامل العددي الغاوسي.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمة n (الدرجة) كعدد صحيح غير سالب (0، 1، 2، …). حدّد قيمة x الابتدائية (غالباً ما تكون -1)، ومقدار الزيادة (الخطوة) بين قيم \(x\) المتتالية (مثلاً 0.02)، وعدد التكرارات (الصفوف) التي تريد توليدها. يستخدم الصف رقم \(i\) القيمة \(x = \text{startX} + i \times \text{step}\). ورغم أن كثيرات الحدود تكون أكثر دلالة على الفترة [-1، 1]، فإن الصيغة تعمل مع أي قيمة حقيقية لـ \(x\) — مع ملاحظة أن القيمة تتضخّم بسرعة خارج هذه الفترة.
شرح الصيغة
بدلاً من فكّ الصيغ المغلقة، تعتمد الحاسبة على تكرار بونيه (Bonnet) لضمان الاستقرار العددي: نبدأ بـ \(P_0(x) = 1\) و \(P_1(x) = x\)، ثم نكرّر العلاقة
$$P_{k+1}(x) = \frac{(2k+1)\cdot x\cdot P_k(x) - k\cdot P_{k-1}(x)}{k+1}.$$والصيغ المغلقة الأولى هي: \(P_2 = \frac{3x^2 - 1}{2}\)، و \(P_3 = \frac{5x^3 - 3x}{2}\)، و \(P_4 = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}\).
مثال محلول
عند \(n = 3\) وعند \(x = 0.5\): نجد \(P_0 = 1\)، و \(P_1 = 0.5\). ثم
$$P_2 = \frac{3\cdot 0.5\cdot 0.5 - 1}{2} = -0.125,$$$$P_3 = \frac{5\cdot 0.5\cdot(-0.125) - 2\cdot 0.5}{3} = \frac{-1.3125}{3} = -0.4375.$$وتعطي الصيغة المغلقة \(\frac{5x^3 - 3x}{2}\) النتيجة نفسها، ما يؤكّد صحة التكرار.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعطي القيمة n = 0؟ قيمة ثابتة تساوي 1 لكل \(x\)، فيكون الرسم البياني خطاً أفقياً مستقيماً. ما قيم الطرفين؟ يحقّق كل كثير حدود لوجاندر العلاقتين \(P_n(1) = 1\) و \(P_n(-1) = (-1)^n\). لماذا نستخدم التكرار بدلاً من الصيغ الصريحة؟ لأن علاقة التكرار ثلاثية الحدود سريعة ومستقرة عددياً لأي درجة، وتتجنّب أخطاء الإلغاء التي تظهر في كثيرات الحدود الصريحة عالية الدرجة.
