Qué hace esta calculadora
Esta herramienta genera una tabla de valores del polinomio de Legendre \(P_n(x)\) para el grado n que elijas, evaluado a lo largo de una secuencia de valores de x, y dibuja la curva correspondiente. Solo tienes que indicar el grado, un valor inicial de x, el incremento (paso) y cuántas filas quieres; la calculadora te devuelve cada par \((x, P_n(x))\) junto con una gráfica de líneas. Los polinomios de Legendre son una familia clásica de polinomios ortogonales en el intervalo [-1, 1] y aparecen por toda la física y las matemáticas aplicadas: en las soluciones de la ecuación de Laplace, en los desarrollos multipolares, en los armónicos esféricos y en la cuadratura de Gauss.
Cómo usarla
Introduce n (grado) como un número entero no negativo (0, 1, 2, …). Fija el valor inicial de x (normalmente -1), el incremento (paso) entre valores sucesivos de x (por ejemplo, 0,02) y el número de repeticiones (filas) que quieres generar. La fila i-ésima utiliza \(x = x_{\text{Inicial}} + i \times \text{paso}\). Aunque estos polinomios cobran su pleno sentido en [-1, 1], la fórmula es válida para cualquier x real; eso sí, fuera de ese intervalo su magnitud crece muy deprisa.
La fórmula explicada
En lugar de desarrollar formas cerradas, la calculadora aplica la recursión de Bonnet por su estabilidad numérica: parte de \(P_0(x) = 1\) y \(P_1(x) = x\) y, a continuación, itera $$P_{k+1}(x) = \frac{(2k+1)\cdot x\cdot P_k(x) - k\cdot P_{k-1}(x)}{k+1}.$$ Las primeras formas cerradas son \(P_2 = \frac{3x^2 - 1}{2}\), \(P_3 = \frac{5x^3 - 3x}{2}\) y \(P_4 = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}\).
Ejemplo resuelto
Para n = 3 con x = 0,5: \(P_0 = 1\), \(P_1 = 0{,}5\). Entonces $$P_2 = \frac{3\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5 - 1}{2} = -0{,}125,$$ y $$P_3 = \frac{5\cdot 0{,}5\cdot(-0{,}125) - 2\cdot 0{,}5}{3} = \frac{-1{,}3125}{3} = -0{,}4375.$$ La forma cerrada \(\frac{5x^3 - 3x}{2}\) da el mismo resultado, lo que confirma la recursión.
Preguntas frecuentes
¿Qué se obtiene con n = 0? Un valor constante de 1 para todo x, de modo que la gráfica es una línea horizontal plana. ¿Cuáles son los valores en los extremos? Todos los polinomios de Legendre cumplen que \(P_n(1) = 1\) y \(P_n(-1) = (-1)^n\). ¿Por qué usar la recursión en lugar de las fórmulas explícitas? La recurrencia de tres términos es rápida y numéricamente estable para cualquier grado, y evita los errores de cancelación que aparecen en los polinomios explícitos de orden alto.
