Công cụ này làm gì?
Công cụ này lập bảng giá trị của đa thức Legendre \(P_n(x)\) ứng với bậc \(n\) bạn chọn, tính trên một dãy các giá trị \(x\), đồng thời vẽ đường cong tương ứng. Bạn chỉ cần nhập bậc, giá trị \(x\) ban đầu, bước nhảy và số dòng muốn tạo; công cụ sẽ trả về từng cặp \((x, P_n(x))\) kèm đồ thị đường. Đa thức Legendre là một họ đa thức trực giao kinh điển trên đoạn [-1, 1], xuất hiện rộng rãi trong vật lý và toán ứng dụng — từ nghiệm của phương trình Laplace, khai triển đa cực, hàm điều hòa cầu cho đến cầu phương Gauss.
Cách sử dụng
Nhập n (bậc) là một số nguyên không âm (0, 1, 2, …). Thiết lập giá trị x ban đầu (thường là -1), bước nhảy giữa các giá trị \(x\) liên tiếp (ví dụ 0,02) và số dòng (số lần lặp) muốn tạo. Dòng thứ \(i\) sẽ dùng \(x = \text{startX} + i \times \text{step}\). Tuy đa thức có ý nghĩa rõ nhất trên đoạn [-1, 1], công thức vẫn áp dụng được cho mọi số thực \(x\) — lưu ý rằng ngoài khoảng này, độ lớn của giá trị tăng rất nhanh.
Giải thích công thức
Thay vì khai triển dạng tường minh, công cụ dùng công thức truy hồi Bonnet để bảo đảm ổn định số học: bắt đầu với \(P_0(x) = 1\) và \(P_1(x) = x\), sau đó lặp
$$(k+1)\,P_{k+1}(x) = (2k+1)\,x\,P_k(x) - k\,P_{k-1}(x)$$Vài dạng tường minh đầu tiên là \(P_2 = \frac{3x^2 - 1}{2}\), \(P_3 = \frac{5x^3 - 3x}{2}\) và \(P_4 = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}\).
Ví dụ minh họa
Với \(n = 3\) tại \(x = 0{,}5\): \(P_0 = 1\), \(P_1 = 0{,}5\). Khi đó
$$P_2 = \frac{3 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 - 1}{2} = -0{,}125$$và
$$P_3 = \frac{5 \cdot 0{,}5 \cdot (-0{,}125) - 2 \cdot 0{,}5}{3} = \frac{-1{,}3125}{3} = -0{,}4375$$Thay vào dạng tường minh \(\frac{5x^3 - 3x}{2}\) cũng cho kết quả y hệt, xác nhận tính đúng đắn của công thức truy hồi.
Câu hỏi thường gặp
n = 0 cho kết quả gì? Giá trị hằng bằng 1 với mọi \(x\), nên đồ thị là một đường nằm ngang. Giá trị tại hai đầu mút là bao nhiêu? Mọi đa thức Legendre đều thỏa \(P_n(1) = 1\) và \(P_n(-1) = (-1)^n\). Tại sao dùng công thức truy hồi thay vì công thức tường minh? Công thức truy hồi ba số hạng vừa nhanh vừa ổn định về mặt số học với bậc bất kỳ, tránh được sai số triệt tiêu của các đa thức tường minh bậc cao.
