Máy Tính Căn Số Phức là gì?
Mỗi số phức khác 0 dạng \(z = a + bi\) đều có đúng n căn bậc n phân biệt. Công cụ này giúp bạn tìm trọn vẹn tất cả các căn đó. Trước hết, máy tính chuyển z sang dạng lượng giác (môđun r và argument θ), sau đó áp dụng định lý De Moivre để liệt kê từng căn theo dạng đại số a + bi kèm theo góc tương ứng. Các căn này phân bố đều trên một đường tròn bán kính \(r^{1/n}\) trong mặt phẳng phức, cách nhau một góc \(360°/n\).
Cách sử dụng
Nhập phần thực (a) và phần ảo (b) của số phức, rồi chọn bậc của căn n (ví dụ: 2 cho căn bậc hai, 3 cho căn bậc ba). Công cụ sẽ trả về môđun \(|z|\), argument θ tính bằng độ, môđun của căn \(r^{1/n}\), cùng một bảng đầy đủ liệt kê toàn bộ n căn. Căn chính (k = 0) được làm nổi bật ở đầu bảng.
Giải thích công thức
Đầu tiên, ta viết z dưới dạng lượng giác: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) và \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Khi đó các căn bậc n được tính như sau:
$$w_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad k = 0, 1, \dots, n-1.$$
Mọi căn đều có chung một môđun \(r^{1/n}\); chỉ có góc thay đổi, tăng thêm \(2\pi/n\) sau mỗi bước.
Ví dụ minh họa
Hãy tìm các căn bậc hai của \(z = -1\) (\(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\)). Ở đây \(r = 1\) và \(\theta = 180°\). Môđun của căn là \(1^{1/2} = 1\). Các góc lần lượt là \(180°/2 = 90°\) và \((180° + 360°)/2 = 270°\). Vậy hai căn là \(\cos 90° + i\sin 90° = \mathbf{i}\) và \(\cos 270° + i\sin 270° = \mathbf{-i}\). Đây chính là hai căn bậc hai của \(-1\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao lại có n căn? Vì khi cộng thêm bất kỳ bội số nào của \(2\pi\) vào argument thì vẫn cho ra cùng một số; nhưng sau khi chia cho n, ta thu được n góc phân biệt trước khi chúng lặp lại.
Trường hợp z = 0 thì sao? Số 0 chỉ có một căn duy nhất là 0. Máy tính sẽ trả về kết quả \(0 + 0i\).
Góc được tính theo độ hay radian? Kết quả hiển thị theo độ cho dễ đọc; còn phần tính toán bên trong sử dụng radian.
