Karmaşık Sayı Kök Hesaplama

Hesaplamaya Girin

Reel kısım (a)

Sanal kısım (b)

Kök derecesi (n)

Sonuç

Esas Kök (k = 0)

1 +0 i

2 root(s) total

Modül |z|	1
Argüman θ	0°
Kök modülü rⁿ	1

k	Kök (a + b i)	Açı
0	1 + 0 i	0°
1	-1 + 0 i	180°

Karmaşık Sayı Kök Hesaplama nedir?

Sıfırdan farklı her \(z = a + bi\) karmaşık sayısının tam olarak n adet farklı n. kökü vardır ve bu hesaplayıcı bunların hepsini bulur. Önce z sayısını kutupsal biçime (modül \(r\) ve argüman \(\theta\)) dönüştürür, ardından De Moivre teoremini uygulayarak her kökü açısıyla birlikte dik koordinat (\(a + bi\)) biçiminde listeler. Kökler, karmaşık düzlemde yarıçapı \(r^{1/n}\) olan bir çember üzerinde, aralarında \(360°/n\) açı bulunacak şekilde eşit dağılır.

Nasıl kullanılır?

Karmaşık sayınızın reel kısmını (\(a\)) ve sanal kısmını (\(b\)) girin, sonra kök derecesini \(n\) seçin (örneğin karekök için 2, küpkök için 3). Araç size modülü \(|z|\), derece cinsinden argümanı \(\theta\), kök modülünü \(r^{1/n}\) ve n kökün tamamını içeren bir tabloyu döndürür. Esas kök (\(k = 0\)) tablonun en üstünde vurgulanarak gösterilir.

Formülün açıklaması

Önce z sayısını kutupsal biçimde yazalım: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) ve \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Bu durumda n. kökler şöyledir:

$$w_k = r^{1/n}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\cdot\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad k = 0, 1, \dots, n-1 \text{ için.}$$

Her kökün modülü aynıdır: \(r^{1/n}\). Yalnızca açı değişir ve her adımda \(2\pi/n\) kadar artar.

n kök, \(r^{1/n}\) yarıçaplı bir çember üzerinde \(2\pi/n\) aralıklarla eşit dağılır.

Karmaşık düzlemde modülü \(r\) ve argümanı \(\theta\) ile gösterilen \(z = a + bi\) karmaşık sayısı.

Çözümlü örnek

\(z = -1\) sayısının kareköklerini bulalım (\(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\)). Burada \(r = 1\) ve \(\theta = 180°\)'dir. Kök modülü \(1^{1/2} = 1\) olur. Açılar ise \(180°/2 = 90°\) ve \((180° + 360°)/2 = 270°\)'dir. Dolayısıyla kökler \(\cos 90° + i\cdot\sin 90° = \mathbf{i}\) ve \(\cos 270° + i\cdot\sin 270° = \mathbf{-i}\) olarak bulunur. Bunlar tam olarak \(-1\)'in iki kareköküdür.

Sıkça sorulan sorular

Neden n tane kök var? Argümana \(2\pi\)'nin herhangi bir katını eklemek aynı sayıyı verdiği için, bunu n'ye böldüğümüzde değerler tekrarlanmadan önce n farklı açı elde edilir.

Peki z = 0 durumunda? Sıfırın tek bir kökü vardır: 0. Hesaplayıcı \(0 + 0i\) sonucunu döndürür.

Açı derece cinsinden mi yoksa radyan cinsinden mi? Sonuçlar okunabilirlik için derece cinsinden gösterilir; arka plandaki hesaplamalar ise radyan kullanır.