Karmaşık Sayı Karekök Hesaplama Aracı nedir?
Bu araç, a + bi biçiminde yazılan herhangi bir karmaşık sayının karekökünü bulur; burada a reel kısmı, b ise sanal kısmı temsil eder. Sıfırdan farklı her karmaşık sayının, birbirinin negatifi olan tam olarak iki karekökü vardır. Bu hesap aracı asal kökü verir ve diğer kökün yalnızca bunun negatifi olduğunu belirtir.
Nasıl kullanılır?
Karmaşık sayınızın reel kısmını (a) ve sanal kısmını (b) girin, ardından sonucu okuyun. Örneğin -4 gibi tamamen reel ve negatif bir sayı için yalnızca a = -4 ve b = 0 değerlerini girmeniz yeterlidir. Araç ayrıca girilen sayının modülünü ve elde edilen kökün modülünü de raporlar.
Formülün açıklaması
z = a + bi ve modülü \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) ise, asal karekök şu şekilde hesaplanır:
$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i\cdot\operatorname{sgn}(b)\cdot\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}$$b'nin işareti, sanal kısmın işaretini belirler. b = 0 ve a ≥ 0 olduğunda kök tamamen reeldir; b = 0 ve a < 0 olduğunda ise kök tamamen sanaldır. Kökün modülü \(\sqrt{|z|}\) değerine eşittir.
Çözümlü örnek
z = 3 + 4i sayısını ele alalım. Bu durumda \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\) olur. Kökün reel kısmı \(\sqrt{\frac{5 + 3}{2}} = \sqrt{4} = 2\)'dir. b > 0 olduğundan, sanal kısım \(+\sqrt{\frac{5 - 3}{2}} = \sqrt{1} = 1\) olur. Böylece \(\sqrt{3 + 4i} = 2 + i\) (ve diğer kök \(-2 - i\)) elde edilir.
Sıkça Sorulan Sorular
Neden iki karekök var? Kare alma işlemi işareti yok eder; yani \(w^{2} = z\) ise \((-w)^{2} = z\) de doğrudur. İki kök her zaman yalnızca işaret bakımından farklıdır.
Asal kök nedir? Geleneksel olarak asal kök, reel kısmı negatif olmayan (reel kısım sıfır olduğunda ise sanal kısmı negatif olmayan) köktür.
Negatif bir reel sayının karekökünü alabilir miyim? Evet. b = 0 ve a değerini negatif olarak girin; örneğin \(\sqrt{-4} = 2i\)'dir.
