ما هي حاسبة الجذر التربيعي للأعداد المركبة؟
تُوجد هذه الأداة الجذر التربيعي لأي عدد مركب مكتوب على الصورة a + bi، حيث يمثّل a الجزء الحقيقي وb الجزء التخيلي. لكل عدد مركب غير صفري جذران تربيعيان بالضبط، وكل منهما هو نظير الآخر بالإشارة؛ وتُرجع هذه الحاسبة الجذر الأساسي مع التنبيه إلى أنّ الجذر الآخر هو ببساطة نظيره السالب.
كيفية الاستخدام
أدخل الجزء الحقيقي (\(a\)) والجزء التخيلي (\(b\)) للعدد المركب، ثم اقرأ النتيجة مباشرة. أمّا إذا كان العدد حقيقيًا سالبًا بحتًا مثل -4، فاضبط \(a = -4\) و\(b = 0\) فقط. كما تعرض الحاسبة مقياس العدد المُدخَل ومقياس الجذر الناتج.
شرح القانون
إذا كان \(z = a + bi\) ومقياسه \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)، فإنّ الجذر التربيعي الأساسي هو:
$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i\cdot\operatorname{sgn}(b)\cdot\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}$$
تحدّد إشارة \(b\) إشارة الجزء التخيلي. فعندما يكون \(b = 0\) و\(a \ge 0\) يكون الجذر حقيقيًا بحتًا؛ وعندما يكون \(b = 0\) و\(a < 0\) يكون الجذر تخيليًا بحتًا. ويساوي مقياس الجذر القيمة \(\sqrt{|z|}\).
مثال محلول
لنأخذ \(z = 3 + 4i\). عندئذٍ يكون \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\). والجزء الحقيقي للجذر هو \(\sqrt{\frac{5 + 3}{2}} = \sqrt{4} = 2\). وبما أنّ \(b > 0\)، فإنّ الجزء التخيلي هو \(+\sqrt{\frac{5 - 3}{2}} = \sqrt{1} = 1\). ومن ثمّ فإنّ $$\sqrt{3 + 4i} = 2 + i$$ (والجذر الآخر هو \(-2 - i\)).
الأسئلة الشائعة
لماذا يوجد جذران تربيعيان؟ لأنّ التربيع يلغي تأثير الإشارة، فإذا كان \(w^2 = z\) فإنّ \((-w)^2 = z\) أيضًا. ويختلف الجذران دائمًا بالإشارة فقط.
ما هو الجذر الأساسي؟ هو اصطلاحًا الجذر الذي جزؤه الحقيقي غير سالب (وإذا كان الجزء الحقيقي صفرًا، فهو الجذر ذو الجزء التخيلي غير السالب).
هل يمكنني إيجاد جذر عدد حقيقي سالب؟ نعم. اضبط \(b = 0\) واجعل \(a\) سالبًا؛ فمثلًا \(\sqrt{-4} = 2i\).
