複素数の平方根計算ツールとは？
このツールは、a + bi（a が実部、b が虚部）の形で書かれた複素数の平方根を求めるものです。0 でない複素数には、互いに符号が反対の平方根がちょうど 2 つ存在します。本ツールでは主平方根を表示し、もう一方の根はその符号を反転させただけのものであることをあわせてお知らせします。
使い方
複素数の実部（a）と虚部（b）を入力すると、結果がそのまま表示されます。たとえば −4 のような純粋な負の実数の場合は、a = −4、b = 0 と設定するだけで構いません。さらに、入力した複素数の絶対値と、得られた根の絶対値も同時に表示されます。
計算式の解説
z = a + bi、その絶対値を \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) とすると、主平方根は次のように表されます。
$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i\cdot\operatorname{sgn}(b)\cdot\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}$$
虚部の符号は b の符号によって決まります。b = 0 かつ a ≥ 0 のときは根は純粋な実数となり、b = 0 かつ a < 0 のときは純粋な虚数となります。また、根の絶対値は \(\sqrt{|z|}\) に等しくなります。
計算例
z = 3 + 4i の場合を考えてみましょう。まず \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\) です。根の実部は \(\sqrt{\frac{5 + 3}{2}} = \sqrt{4} = 2\) となります。b > 0 なので、虚部は \(+\sqrt{\frac{5 - 3}{2}} = \sqrt{1} = 1\) です。したがって \(\sqrt{3 + 4i} = 2 + i\) となります（もう一方の根は −2 − i です）。
よくある質問
なぜ平方根は 2 つあるのですか？ 2 乗すると符号が打ち消されるため、w² = z であれば (−w)² = z も成り立ちます。2 つの根は常に符号だけが異なります。
主平方根とは何ですか？ 慣例として、実部が非負の根を主平方根と呼びます（実部が 0 の場合は虚部が非負のものを指します）。
負の実数の平方根も求められますか？ はい、求められます。b = 0 として a に負の値を入力してください。たとえば \(\sqrt{-4} = 2i\) となります。
