二次数列の一般項計算ツールとは？
二次数列とは、隣り合う項の差をさらに引いた階差の階差（第2階差）が一定になる数列のことです。その一般項は \(T_n = an^2 + bn + c\) という形で表されます。このツールは、そうした数列の最初の3項を入力するだけで、係数 a・b・c を自動的に求め、一般項の式を導き出します。さらに、指定した任意の第n項の値も計算できます。
使い方
最初の3項（T₁、T₂、T₃）を順番に入力してください。必要に応じて項番号 \(n\) を入力すれば、その項の値もすぐに確認できます。計算結果には、一般項の式に加えて、a・b・c の値と一定となる第2階差が表示されます。
計算の仕組み
まず連続する項どうしの差（階差）を求めます。\(d_1 = T_2 - T_1\)、\(d_2 = T_3 - T_2\) です。第2階差は \(\Delta^2 = d_2 - d_1\) で、二次数列ではこれが \(2a\) に等しくなるため、$$a = \frac{\Delta^2}{2}$$ となります。また \(T_2 - T_1 = 3a + b\) が成り立つので、$$b = (T_2 - T_1) - 3a$$ 最後に \(T_1 = a + b + c\) より、$$c = T_1 - a - b$$ として c が求まります。
計算例
数列 3, 8, 15 の場合を考えてみましょう。階差は 5 と 7 なので、第2階差は 2 となり、\(a = 1\) が求まります。次に \(b = 5 - 3(1) = 2\)、そして \(c = 3 - 1 - 2 = 0\)。したがって一般項は $$T_n = n^2 + 2n$$ です。検算として \(T_5 = 25 + 10 = 35\) となり、確かに一致します。
よくある質問
なぜ3項だけで求められるの？ 二次式には未知数が a・b・c の3つしかありません。1項につき1つの方程式が立てられるため、3項あれば3つの方程式が揃い、すべて解けるからです。
第2階差が0のときは？ その場合は \(a = 0\) となり、数列は実は等差数列（一次の数列）です。一般項は \(T_n = bn + c\) に簡略化されます。
小数や負の数も扱える？ はい。項には任意の実数を入力でき、係数が分数や負の値になることもあります。
