Что такое калькулятор n-го члена квадратичной последовательности?
Квадратичная последовательность — это ряд чисел, у которого постоянны вторые разности. Её общий член задаётся формулой \(T_n = a n^2 + b n + c\). Калькулятор берёт первые три члена такой последовательности, вычисляет коэффициенты a, b и c и выдаёт полную формулу n-го члена. Кроме того, он может найти значение любого члена, который вы укажете.
Как пользоваться
Введите первые три члена (T₁, T₂ и T₃) по порядку. При желании укажите номер члена n, чтобы сразу получить его значение. Калькулятор покажет формулу, а также значения a, b, c и постоянную вторую разность.
Разбор формулы
Найдите разности между соседними членами: \(d_1 = T_2 - T_1\) и \(d_2 = T_3 - T_2\). Вторая разность равна \(\Delta^2 = d_2 - d_1\), и для квадратичной последовательности она равна \(2a\), поэтому \(a = \Delta^2/2\). Так как \(T_2 - T_1 = 3a + b\), получаем \(b = (T_2 - T_1) - 3a\). Наконец, поскольку \(T_1 = a + b + c\), имеем \(c = T_1 - a - b\).
$$ T_n = a\,n^{2} + b\,n + c $$ $$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right. $$
Пример с решением
Возьмём последовательность 3, 8, 15: первые разности равны 5 и 7, значит вторая разность равна 2, откуда \(a = 1\). Тогда $$ b = 5 - 3(1) = 2 $$ а $$ c = 3 - 1 - 2 = 0 $$ Формула: $$ T_n = n^2 + 2n $$ Проверка: $$ T_5 = 25 + 10 = 35 $$
Частые вопросы
Почему достаточно всего трёх членов? У квадратичной формулы три неизвестных (a, b, c), поэтому трёх уравнений — по одному на каждый член — хватает, чтобы их найти.
Что, если вторая разность равна нулю? Тогда \(a = 0\), и последовательность на самом деле линейная (арифметическая), а формула упрощается до \(T_n = bn + c\).
Поддерживаются ли дроби и отрицательные числа? Да — членами могут быть любые действительные числа, а коэффициенты вполне могут оказаться дробными или отрицательными.
