Что такое числовая последовательность?
Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, подчинённый определённому правилу. Чаще всего встречаются два типа. В арифметической прогрессии каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число — разность прогрессии \(d\). В геометрической прогрессии каждый член получается умножением предыдущего на постоянный множитель — знаменатель прогрессии \(r\). Этот калькулятор находит и значение любого выбранного члена (\(n\)-го члена), и сумму всех членов до этой позиции.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите тип прогрессии, затем введите три значения: первый член (\(a_1\)), разность или знаменатель (\(d\) для арифметической, \(r\) для геометрической) и номер члена \(n\), который нужно найти. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор покажет \(n\)-й член \(a_n\) и частичную сумму \(S_n\) первых \(n\) членов.
Разбираем формулы
В арифметической прогрессии на каждом шаге прибавляется \(d\), поэтому \(n\)-й член равен $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ а сумма первых \(n\) членов — $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$ По сути, мы берём среднее первого и последнего членов и умножаем его на количество членов.
В геометрической прогрессии на каждом шаге происходит умножение на \(r\), поэтому $$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$ Сумма вычисляется по формуле $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$ при \(r \neq 1\); если же \(r = 1\), сумма равна просто \(a_1 \cdot n\).
Пример с решением
Возьмём арифметическую прогрессию с \(a_1 = 2\), \(d = 3\) и \(n = 10\). Десятый член равен $$2 + (10-1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ Сумма первых 10 членов: $$\frac{10}{2}\left(2\cdot 2 + 9\cdot 3\right) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$
Частые вопросы
Может ли разность или знаменатель быть отрицательным? Да. Отрицательная разность \(d\) делает арифметическую прогрессию убывающей, а отрицательный знаменатель \(r\) заставляет члены геометрической прогрессии чередовать знак.
Что будет, если знаменатель равен ровно 1? Тогда сумма геометрической прогрессии сводится к \(a_1 \times n\) — калькулятор учитывает этот случай автоматически.
Обязательно ли n должно быть целым числом? Да: номер члена \(n\) — это положительное целое число (1, 2, 3, …).
