Что такое линейная (арифметическая) последовательность?
Линейная последовательность — её чаще называют арифметической прогрессией — это набор чисел, в котором каждый следующий член больше (или меньше) предыдущего на одну и ту же постоянную величину. Эту величину называют разностью прогрессии. Поскольку члены растут равномерно, всю последовательность можно сложить с помощью одной изящной формулы, а не складывать каждое число вручную. Этот калькулятор мгновенно вычисляет такую сумму.
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: первый член a₁, последний член aₙ и общее количество членов n. Нажмите «Рассчитать» — и вы получите сумму последовательности, число членов и средний член. Знать разность прогрессии не нужно: достаточно крайних значений и количества членов.
Разбор формулы
Сумма линейной последовательности равна:
$$S = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$$
Идея проста и традиционно приписывается Гауссу: соедините первый член с последним, второй — с предпоследним и так далее. Каждая такая пара даёт одну и ту же сумму \((a_1 + a_n)\). При \(n\) членах получается \(n/2\) таких пар, отсюда и формула \(S = n(a_1 + a_n)/2\). Иначе говоря, сумма равна количеству членов, умноженному на средний член.
Пример с решением
Сложим целые числа от 1 до 100. Здесь \(a_1 = 1\), \(a_n = 100\), а \(n = 100\). Тогда $$S = \frac{100 \times (1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050.$$ Средний член равен \((1 + 100)/2 = 50{,}5\), и \(100 \times 50{,}5 = 5050\) — результат полностью совпадает.
Частые вопросы
Нужна ли мне разность прогрессии? Нет. Если известны первый член, последний член и количество членов, формула работает для любой арифметической прогрессии.
Могут ли члены быть отрицательными или дробными? Да. Формула справляется с отрицательными и дробными числами — просто введите их как есть.
А если последовательность убывает? Это не проблема: укажите большее значение как \(a_1\), а меньшее — как \(a_n\). Сумма всё равно будет верной.
