선형 수열(등차수열)이란?
선형 수열은 흔히 등차수열이라고 부르며, 각 항이 일정한 값만큼 커지거나 작아지는 수의 나열입니다. 이때 항과 항 사이의 일정한 차이를 공차라고 합니다. 항이 균등하게 변하기 때문에 모든 항을 일일이 더하지 않고도 깔끔한 하나의 공식으로 전체 합을 구할 수 있습니다. 이 계산기는 그 합을 즉시 계산해 줍니다.
계산기 사용 방법
세 가지 값을 입력하세요. 첫째항 a₁, 마지막항 aₙ, 그리고 항의 총 개수 n입니다. 계산 버튼을 누르면 수열의 합, 항의 개수, 그리고 항의 평균값이 함께 나옵니다. 공차를 몰라도 됩니다. 양 끝의 항과 항의 개수만 알면 충분합니다.
공식 설명
등차수열의 합은 다음과 같습니다.
$$S = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$
원리는 단순하며, 가우스의 일화로 유명합니다. 첫째항과 마지막항을 짝짓고, 둘째항과 끝에서 둘째항을 짝짓는 식으로 묶으면 각 짝의 합은 모두 똑같이 \(a_1 + a_n\)가 됩니다. 항이 \(n\)개라면 이런 짝이 \(n/2\)개 생기므로 \(S = n(a_1 + a_n)/2\)가 됩니다. 다시 말해, 합은 항의 개수에 항의 평균값을 곱한 것과 같습니다.
예제로 풀어보기
1부터 100까지의 자연수를 모두 더해 봅시다. 여기서 \(a_1 = 1\), \(a_n = 100\), \(n = 100\)입니다. 따라서 $$S = \frac{100}{2}\left(1 + 100\right) = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$$입니다. 항의 평균값은 \((1 + 100)/2 = 50.5\)이고, \(100 \times 50.5 = 5050\)으로 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
공차를 꼭 알아야 하나요? 아닙니다. 첫째항, 마지막항, 항의 개수만 알면 어떤 등차수열에도 이 공식을 그대로 쓸 수 있습니다.
음수나 소수도 항이 될 수 있나요? 네. 이 공식은 음수와 소수 항도 문제없이 처리합니다. 값을 그대로 입력하면 됩니다.
수열이 감소하는 경우는 어떻게 하나요? 괜찮습니다. 더 큰 값을 a₁에, 더 작은 값을 aₙ에 입력하세요. 합은 그대로 정확하게 나옵니다.
