수열이란?
수열은 일정한 규칙에 따라 순서대로 나열한 수들의 모임입니다. 가장 대표적인 두 가지는 등차수열과 등비수열입니다. 등차수열은 각 항이 일정한 값(공차 d)만큼 커지고, 등비수열은 각 항이 일정한 비율(공비 r)만큼 곱해지며 변합니다. 이 계산기는 원하는 위치의 항(일반항, n번째 항)의 값과 그 항까지의 모든 항을 더한 합을 한 번에 구해 줍니다.
계산기 사용 방법
먼저 수열 종류를 선택한 뒤 세 가지 값을 입력하세요. 첫째항(a₁), 공차 또는 공비(등차수열은 d, 등비수열은 r), 그리고 구하려는 항의 위치 \(n\)입니다. 계산 버튼을 누르면 \(n\)번째 항 \(a_n\)과 처음 \(n\)개 항의 부분합 \(S_n\)을 바로 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
등차수열은 한 단계마다 d씩 더해지므로 \(n\)번째 항은 $$a_n = a_1 + (n-1)d$$이고, 처음 \(n\)개 항의 합은 $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$입니다. 이는 첫째항과 끝항을 평균 낸 뒤 항의 개수를 곱한 것과 같은 의미입니다.
등비수열은 한 단계마다 \(r\)을 곱하므로 $$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$이 됩니다. 합은 \(r \neq 1\)일 때 $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$이며, \(r = 1\)이면 합은 단순히 \(a_1 \cdot n\)이 됩니다.
예제로 익히기
\(a_1 = 2\), \(d = 3\), \(n = 10\)인 등차수열을 살펴봅시다. 10번째 항은 $$2 + (10-1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$입니다. 처음 10개 항의 합은 $$\frac{10}{2}\left(2\cdot 2 + 9\cdot 3\right) = 5\left(4 + 27\right) = 5\cdot 31 = 155$$가 됩니다.
자주 묻는 질문
공차나 공비가 음수일 수도 있나요? 가능합니다. \(d\)가 음수이면 등차수열은 점점 작아지고, \(r\)이 음수이면 등비수열은 항마다 부호가 번갈아 바뀝니다.
공비가 정확히 1이면 어떻게 되나요? 이때 등비수열의 합은 \(a_1 \times n\)으로 간단해지며, 계산기가 이를 자동으로 처리합니다.
n은 반드시 정수여야 하나요? 네. 항의 위치 \(n\)은 양의 정수(1, 2, 3, …)여야 합니다.
