संख्या अनुक्रम क्या होता है?
संख्या अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची है जो किसी निश्चित नियम का पालन करती है। इसके दो सबसे आम प्रकार हैं — समांतर श्रेणी (Arithmetic Sequence), जिसमें हर पद एक स्थिर मात्रा (सार्व अंतर, \(d\)) से बढ़ता है, और गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Sequence), जिसमें हर पद एक स्थिर गुणक (सार्व अनुपात, \(r\)) से गुणा होता है। यह कैलकुलेटर आपके चुने हुए किसी भी पद का मान (n-वाँ पद) और उस स्थिति तक के सभी पदों का योग, दोनों निकाल देता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले अनुक्रम का प्रकार चुनें, फिर तीन मान भरें: पहला पद (\(a_1\)), सार्व अंतर या अनुपात (समांतर के लिए \(d\), गुणोत्तर के लिए \(r\)), और जिस पद का मान आप जानना चाहते हैं वह स्थिति \(n\)। कैलकुलेट दबाते ही आपको n-वाँ पद \(a_n\) और पहले \(n\) पदों का आंशिक योग \(S_n\) दिख जाएगा।
सूत्रों की सरल व्याख्या
समांतर श्रेणी में हर कदम पर \(d\) जुड़ता है, इसलिए n-वाँ पद होता है $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ और पहले \(n\) पदों का योग होता है $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$ यह दरअसल पहले और आखिरी पद का औसत निकालकर उसे पदों की संख्या से गुणा कर देता है।
गुणोत्तर श्रेणी में हर कदम पर \(r\) से गुणा होता है, जिससे $$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$ मिलता है। जब \(r \neq 1\) हो तो योग होता है $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$ और अगर \(r = 1\) हो तो योग केवल \(a_1 \cdot n\) रह जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए एक समांतर श्रेणी है जिसमें \(a_1 = 2\), \(d = 3\) और \(n = 10\) है। 10वाँ पद होगा $$2 + (10-1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ पहले 10 पदों का योग होगा $$\frac{10}{2}\left(2\cdot 2 + 9\cdot 3\right) = 5 \cdot (4 + 27) = 5 \cdot 31 = 155$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या सार्व अंतर या अनुपात ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक \(d\) के साथ समांतर श्रेणी घटती जाती है; ऋणात्मक \(r\) के साथ गुणोत्तर श्रेणी के पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते रहते हैं।
अगर अनुपात ठीक 1 हो तो क्या होगा? ऐसे में गुणोत्तर योग सिमटकर \(a_1 \times n\) रह जाता है, जिसे कैलकुलेटर अपने आप संभाल लेता है।
क्या n का पूर्णांक होना ज़रूरी है? हाँ — पद की स्थिति \(n\) एक धनात्मक पूर्णांक (1, 2, 3, …) होती है।
