फिबोनाची शृंखला क्या है?
फिबोनाची शृंखला पूर्णांकों का ऐसा क्रम है जिसमें हर संख्या अपने ठीक पहले की दो संख्याओं का योग होती है। इसकी शुरुआत 0 और 1 से होती है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, इत्यादि। यह गणित और प्रकृति दोनों में हर जगह दिखती है — घोंघे के सर्पिल आकार और सूरजमुखी के बीजों की बनावट से लेकर स्वर्णिम अनुपात (गोल्डन रेशियो) तक। यह कैलकुलेटर किसी भी इंडेक्स \(n\) के लिए एकल फिबोनाची संख्या \(F_n\) दे सकता है, या किसी आरंभिक और अंतिम इंडेक्स के बीच की पूरी शृंखला बना सकता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
बनाएं ड्रॉपडाउन में मोड चुनें। एकल मान \(F_n\) और उसका रिकर्रेंस स्टेप पाने के लिए एक संख्या चुनें और इंडेक्स \(n\) दर्ज करें। किसी दायरे की सभी फिबोनाची संख्याएं सूचीबद्ध करने के लिए एक शृंखला चुनें और Start n तथा End n दर्ज करें — यह दायरा दोनों सिरों सहित गिना जाता है। इंडेक्स धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं; समर्थित दायरा -200 से 200 तक है।
सूत्र की व्याख्या
मूल नियम है रिकर्रेंस $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, \; F_1 = 1$$ जहां \(F_0 = 0\) और \(F_1 = 1\) होते हैं। बड़े \(n\) के लिए सटीक परिणाम पाने हेतु यह टूल फ्लोटिंग-पॉइंट बिने (Binet) सूत्र के बजाय अर्बिट्ररी-प्रिसिज़न पूर्णांकों का उपयोग करते हुए चरण-दर-चरण गणना करता है, क्योंकि बिने सूत्र लगभग \(n = 71\) के बाद सटीकता खो देता है। ऋणात्मक इंडेक्स नेगाफिबोनाची नियम \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\) का पालन करते हैं, इसलिए \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\), \(F_{-3} = 2\), \(F_{-4} = -3\), और इसी तरह आगे।
हल किया हुआ उदाहरण
\(F_{15}\) निकालने के लिए शृंखला को इंडेक्स 15 तक बढ़ाएं: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610। तो \(F_{15} = 610\), जो $$F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610$$ के बराबर है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह ऋणात्मक इंडेक्स समर्थित करता है? हां। यह नेगाफिबोनाची विस्तार का उपयोग करता है, जिससे चिह्न बदलते हुए परिणाम मिलते हैं, जैसे \(F_{-6} = -8\)।
n कितना बड़ा हो सकता है? समर्थित दायरा -200 से 200 तक है। \(F_{200}\) में 42 अंक होते हैं और इसे अर्बिट्ररी-प्रिसिज़न पूर्णांकों से बिल्कुल सटीक गणना किया जाता है।
सिर्फ बिने (Binet) सूत्र का उपयोग क्यों नहीं? बिने का बंद-रूप सूत्र \(F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\) दिखाने के लिए सुंदर है, पर डबल-प्रिसिज़न में राउंडिंग के कारण यह बड़े \(n\) के लिए अविश्वसनीय हो जाता है, इसलिए उत्तर के लिए सटीक पूर्णांक गणना का ही प्रयोग किया जाता है।
