सूत्र (फॉर्मूला)

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Sum of Fibonacci Terms F(0) to F(n)

Sum of the first terms equals F(n+2) - 1

परिणाम

Fibonacci number F(10)

nवें पद का मान

पद की स्थिति (n)	10
योग F(0)…F(n)	143
बिनेट (स्वर्ण-अनुपात) अनुमान	55.003636

फिबोनाची श्रेणी क्या है?

फिबोनाची श्रेणी गणित के सबसे प्रसिद्ध पैटर्न में से एक है। यह 0 और 1 से शुरू होती है, और इसके बाद आने वाली हर संख्या अपने से पहले की दो संख्याओं का योग होती है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, और इसी तरह आगे। यह फिबोनाची कैलकुलेटर nवें पद का मान निकालता है, साथ ही उस पद तक के सभी पदों का कुल योग भी बताता है।

नेस्टेड वर्गों से होकर गुजरते चौथाई चापों से बना फिबोनाची सर्पिल — फिबोनाची अनुक्रम पिछले दो पदों को जोड़कर बढ़ता है, जिससे प्रसिद्ध सर्पिल बनता है।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पद की स्थिति n दर्ज करें (जिस संख्या का मान आप चाहते हैं उसका क्रमांक, जो 0 से शुरू होता है) और सबमिट करें। कैलकुलेटर आपको F(n), संचयी योग F(0)+F(1)+…+F(n), और बिनेट के सूत्र से प्राप्त स्वर्ण-अनुपात अनुमान देता है। n = 90 तक के मानों के लिए पूर्ण पूर्णांक सटीकता उपलब्ध है।

सूत्र की व्याख्या

दो विधियाँ एक ही उत्तर देती हैं। सबसे सरल है पुनरावर्ती नियम $F(n) = F(n-1) + F(n-2)$। दूसरा सुंदर बंद-रूप है बिनेट का सूत्र, जो स्वर्ण अनुपात $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ का उपयोग करता है।

$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

चूँकि दूसरा पद $\psi^{\text{n}}$ शून्य की ओर सिकुड़ता जाता है, इसलिए $F(n)$ का मान $\varphi^{\text{n}}/\sqrt{5}$ के बेहद करीब होता है, और निकटतम पूर्णांक तक राउंड करने पर सटीक फिबोनाची संख्या मिल जाती है। यह कैलकुलेटर परिणाम को पुनरावृत्ति (iterative) विधि से निकालता है ताकि सटीकता पूरी रहे, और तुलना के लिए बिनेट अनुमान भी दिखाता है।

स्वर्णिम अनुपात में बँटे रेखाखंड से बना स्वर्णिम अनुपात फाई का आरेख — बिनेट का सूत्र स्वर्णिम अनुपात $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ का उपयोग करता है।

हल किया गया उदाहरण

$n = 10$ के लिए: श्रेणी है 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55। यानी $F(10) = 55$। पहले ग्यारह पदों ($F(0)$ से $F(10)$ तक) का योग है

$$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$

बिनेट अनुमान $\varphi^{10}/\sqrt{5} \approx 55.0036$, जो राउंड होकर 55 बनता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या श्रेणी 0 से शुरू होती है या 1 से? यह टूल मानक परिपाटी $F(0)=0$ और $F(1)=1$ का उपयोग करता है, इसलिए स्थिति 0 का मान 0 आता है।

n को 90 तक ही क्यों सीमित रखा गया है? $F(90)$ लगभग $2.88 \times 10^{18}$ है, जो सटीक 64-बिट पूर्णांक गणना की सीमा के करीब है। इससे आगे फ्लोटिंग-पॉइंट राउंडिंग के कारण त्रुटियाँ हो सकती हैं।

स्वर्ण अनुपात से इसका क्या संबंध है? जैसे-जैसे $n$ बड़ा होता जाता है, लगातार आने वाली फिबोनाची संख्याओं का अनुपात $F(n+1)/F(n)$ धीरे-धीरे $\varphi \approx 1.6180339887$ की ओर अभिसरित होता जाता है।

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