Fibonacci dizisi nedir?
Fibonacci dizisi, matematiğin en bilinen örüntülerinden biridir. 0 ve 1 ile başlar; ardından gelen her sayı kendinden önceki iki sayının toplamıdır: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ve böyle devam eder. Bu Fibonacci hesaplama aracı, dizinin n. teriminin değerini ve o terime kadarki tüm terimlerin toplamını hesaplar.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
İstediğiniz sayının sırasını, yani terim konumunu n olarak girin (sıralama 0'dan başlar) ve hesaplatın. Araç size F(n) değerini, \(F(0)+F(1)+\ldots+F(n)\) kümülatif toplamını ve Binet formülünden gelen altın oran tahminini verir. n = 90'a kadar olan değerler tam tamsayı doğruluğuyla desteklenir.
Formül açıklaması
İki farklı yöntem aynı sonucu verir. En basiti, \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\) şeklindeki özyinelemeli (recursive) kuraldır. Şık olan kapalı form ise Binet formülüdür; bu formül altın oranı, yani \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\) değerini kullanır.
$$F_{n} = \frac{\varphi^{n} - (1-\varphi)^{n}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
İkinci terim olan \(\psi^{n}\) giderek sıfıra yaklaştığı için F(n), \(\varphi^{n}/\sqrt{5}\) değerine son derece yakındır; bu yüzden en yakın tamsayıya yuvarlamak tam Fibonacci sayısını verir. Bu hesaplama aracı, kusursuz hassasiyet için sonucu iteratif olarak hesaplar ve karşılaştırma amacıyla Binet tahminini de gösterir.
Örnek çözüm
n = 10 için dizi şöyledir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Dolayısıyla \(F(10) = 55\) olur. İlk on bir terimin (F(0)'dan F(10)'a kadar) toplamı
$$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$
tür. Binet tahmini ise \(\varphi^{10}/\sqrt{5} \approx 55{,}0036\) olup 55'e yuvarlanır.
Sıkça sorulan sorular
Dizi 0'dan mı yoksa 1'den mi başlar? Bu araç, standart kabul olan \(F(0)=0\) ve \(F(1)=1\) yaklaşımını kullanır; bu nedenle 0. konum 0 değerini döndürür.
Neden n değeri 90 ile sınırlı? F(90) yaklaşık \(2{,}88 \times 10^{18}\)'dir ve bu, kesin 64-bit tamsayı aritmetiğinin sınırına yakındır. Bu değerin ötesinde kayan nokta yuvarlaması hatalara yol açabilir.
Altın oran ile bağlantısı nedir? Ardışık Fibonacci sayılarının oranı \(F(n+1)/F(n)\), n büyüdükçe \(\varphi \approx 1{,}6180339887\) değerine yakınsar.
