¿Qué es la sucesión de Fibonacci?
La sucesión de Fibonacci es uno de los patrones más célebres de las matemáticas. Comienza con 0 y 1, y cada número siguiente es la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, y así sucesivamente. Esta calculadora de Fibonacci halla el valor del enésimo término y, además, la suma acumulada de todos los términos hasta ese punto.
Cómo usar la calculadora
Introduce la posición del término n (el índice del número que buscas, empezando desde 0) y pulsa calcular. La herramienta devuelve F(n), la suma acumulada F(0)+F(1)+…+F(n) y la estimación según la fórmula de Binet basada en la razón áurea. Se admiten valores hasta \(n = 90\) con total precisión en números enteros.
La fórmula explicada
Hay dos métodos que dan el mismo resultado. El más sencillo es la regla recursiva \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\). La forma cerrada más elegante es la fórmula de Binet, que emplea la razón áurea \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\):
$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Como el segundo término \(\psi^{\text{n}}\) tiende a cero, F(n) se aproxima muchísimo a \(\varphi^{\text{n}}/\sqrt{5}\), de modo que al redondear al entero más cercano se obtiene el número de Fibonacci exacto. Esta calculadora obtiene el resultado de forma iterativa para lograr una precisión perfecta y también muestra la estimación de Binet a modo de comparación.
Ejemplo resuelto
Para \(n = 10\): la sucesión es 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Por tanto, \(F(10) = 55\). La suma de los once primeros términos (de F(0) a F(10)) es:
$$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$
La estimación de Binet \(\varphi^{10}/\sqrt{5} \approx 55{,}0036\), que redondea a 55.
Preguntas frecuentes
¿La sucesión empieza en 0 o en 1? Esta herramienta usa el convenio estándar \(F(0)=0\) y \(F(1)=1\), de manera que la posición 0 devuelve 0.
¿Por qué se limita n a 90? F(90) ronda los \(2{,}88 \times 10^{18}\), cerca del límite de la aritmética exacta de enteros de 64 bits. Más allá de ese valor, el redondeo en coma flotante podría provocar errores.
¿Cuál es la relación con la razón áurea? El cociente entre números de Fibonacci consecutivos \(F(n+1)/F(n)\) converge hacia \(\varphi \approx 1{,}6180339887\) a medida que n crece.
