ما هي متتالية فيبوناتشي؟
تُعد متتالية فيبوناتشي واحدة من أشهر الأنماط في الرياضيات. تبدأ بالعددين 0 و1، ويكون كل عدد تالٍ مساوياً لمجموع العددين السابقين له: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، وهكذا. تتيح لك حاسبة فيبوناتشي هذه إيجاد قيمة الحد النوني، بالإضافة إلى المجموع التراكمي لجميع الحدود حتى ذلك الحد.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ترتيب الحد n (أي موضع العدد الذي تريده، بدءاً من الصفر) ثم اضغط على زر الحساب. تعرض لك الحاسبة قيمة F(n)، والمجموع التراكمي F(0)+F(1)+…+F(n)، إضافة إلى التقدير المعتمد على النسبة الذهبية من صيغة بينيه. وتدعم الحاسبة القيم حتى \(n = 90\) بدقة عددية صحيحة كاملة.
شرح الصيغة
هناك طريقتان تعطيان النتيجة نفسها. أبسطهما هي القاعدة التكرارية \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\). أما الصيغة المغلقة الأنيقة فهي صيغة بينيه، التي تستخدم النسبة الذهبية \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\).
$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ولأن الحد الثاني \(\psi^{\text{n}}\) يتقلص ويقترب من الصفر، فإن قيمة F(n) تقترب بشدة من \(\frac{\varphi^{\text{n}}}{\sqrt{5}}\)، ومن ثَمَّ فإن التقريب إلى أقرب عدد صحيح يعطي عدد فيبوناتشي الدقيق. تحسب هذه الأداة النتيجة بطريقة تكرارية لضمان دقة تامة، كما تعرض تقدير بينيه للمقارنة.
مثال تطبيقي
لنأخذ \(n = 10\): المتتالية هي 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55. إذن \(F(10) = 55\). ومجموع الحدود الأحد عشر الأولى (من F(0) حتى F(10)) يساوي
$$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$أما تقدير بينيه فهو \(\frac{\varphi^{10}}{\sqrt{5}} \approx 55.0036\)، والذي يُقرَّب إلى 55.
الأسئلة الشائعة
هل تبدأ المتتالية من 0 أم من 1؟ تعتمد هذه الأداة الاصطلاح المعياري حيث \(F(0)=0\) و \(F(1)=1\)، لذا فإن الموضع 0 يعطي القيمة 0.
لماذا يقتصر n على 90؟ قيمة F(90) تساوي تقريباً \(2.88 \times 10^{18}\)، وهي قريبة من حد الحساب الدقيق للأعداد الصحيحة بنظام 64 بت. وما يتجاوز ذلك قد يؤدي تقريب الفاصلة العائمة إلى أخطاء.
ما علاقة المتتالية بالنسبة الذهبية؟ تتقارب نسبة كل عددين متتاليين من أعداد فيبوناتشي \(F(n+1)/F(n)\) نحو \(\varphi \approx 1.6180339887\) كلما كبرت قيمة n.
