ما هي حاسبة أرقام فيبوناتشي؟
تُرجع هذه الأداة رقم فيبوناتشي ذا الترتيب n، ويُرمز له بـ \(F_n\)، لأي عدد صحيح موجب n. تُعدّ متتالية فيبوناتشي من أشهر المتتاليات العددية في الرياضيات: فكل حدّ فيها يساوي مجموع الحدّين السابقين له. وباعتماد القيمتين الأوليتين \(F_1 = 1\) و\(F_2 = 1\)، تبدأ المتتالية هكذا: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، وتستمر إلى ما لا نهاية. وتظهر أرقام فيبوناتشي في الطبيعة والفن وعلوم الحاسوب وفي النسبة الذهبية.
طريقة الاستخدام
أدخل الترتيب n (1، 2، 3، ...) في خانة الإدخال ثم اضغط على زر الحساب، فتُرجع الحاسبة القيمة الدقيقة لـ \(F_n\). ولأن أرقام فيبوناتشي تنمو بمعدل قريب من \(\phi^n / \sqrt{5}\)، فإنها تكبر بسرعة هائلة؛ لذلك تستخدم هذه الأداة حساب الأعداد الصحيحة الكبيرة بدقة تامة بدلاً من الأعداد العشرية ذات الفاصلة العائمة. وهكذا تبقى حتى النتائج الكبيرة دقيقة تماماً بلا أي خطأ تقريبي.
شرح الصيغة
العلاقة التكرارية المعرِّفة هي $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_1 = F_2 = 1$$ مع \(F_1 = 1\) و\(F_2 = 1\). وهناك أيضاً صيغة مغلقة تُعرف بصيغة بينيه: $$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$ حيث \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) هي النسبة الذهبية، و\(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\). وتعطي الصيغتان القيم نفسها وفق هذا الاصطلاح الذي يبدأ من الترتيب 1، لكن صيغة بينيه تفقد دقتها مع القيم الكبيرة لـ n بسبب تقريب الفاصلة العائمة؛ لذا نحسب الإجابة بالطريقة التكرارية لضمان الدقة التامة.
مثال محلول
عند n = 12 نبني المتتالية تدريجياً: \(F_1=1\)، \(F_2=1\)، \(F_3=2\)، \(F_4=3\)، \(F_5=5\)، \(F_6=8\)، \(F_7=13\)، \(F_8=21\)، \(F_9=34\)، \(F_{10}=55\)، \(F_{11}=89\)، \(F_{12}=144\). ومن ثمّ فإن \(F_{12} = 144\). وللتحقق بصيغة بينيه: \(\phi^{12}\) يساوي نحو 321.9969 و\(\psi^{12}\) يساوي نحو 0.0031، وحاصل $$\frac{321.9969 - 0.0031}{\sqrt{5}} \approx 144.0$$ وهو ما يؤكد صحة النتيجة.
الأسئلة الشائعة
لماذا \(F_1 = 1\) و\(F_2 = 1\) وليس \(F_0 = 0\)؟ تعتمد هذه الحاسبة الاصطلاح الشائع الذي يبدأ من الترتيب 1، فتبدأ المتتالية عند هذا الترتيب. أما في الاصطلاح البديل الذي يبدأ من الترتيب 0 فيكون \(F_0 = 0\) و\(F_1 = 1\)؛ والقيم نفسها لكنها مُزاحة بترتيب واحد فقط.
هل تتعامل مع القيم الكبيرة لـ n؟ نعم. فهي تستخدم حساب الأعداد الصحيحة الكبيرة بدقة تامة، بحيث تُرجع حتى الترتيبات الكبيرة العدد الصحيح الدقيق كاملاً بدلاً من قيمة تقريبية.
ما أصغر قيمة صحيحة لـ n؟ يجب أن يكون n عدداً صحيحاً موجباً، فأصغر قيمة ممكنة هي \(n = 1\)، وتعطي \(F_1 = 1\).
