Qu'est-ce que le calculateur de nombre de Fibonacci ?
Cet outil renvoie le n-ième nombre de Fibonacci, noté \(F_n\), pour tout indice entier positif \(n\). La suite de Fibonacci est l'une des suites d'entiers les plus célèbres des mathématiques : chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Avec les valeurs de départ \(F_1 = 1\) et \(F_2 = 1\), la suite débute par 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, et se poursuit à l'infini. Les nombres de Fibonacci se retrouvent dans la nature, dans l'art, en informatique, ainsi que dans le nombre d'or.
Comment l'utiliser
Saisissez l'indice \(n\) (1, 2, 3, ...) dans le champ prévu, puis validez. Le calculateur renvoie la valeur exacte de \(F_n\). Comme les nombres de Fibonacci croissent à peu près comme \(\phi^n / \sqrt{5}\), ils deviennent très vite gigantesques : l'outil utilise donc une arithmétique exacte sur grands entiers plutôt que le calcul à virgule flottante. Même les résultats les plus grands restent ainsi parfaitement exacts, sans aucune erreur d'arrondi.
La formule expliquée
La récurrence qui définit la suite est $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_1 = 1 \text{ et } F_2 = 1.$$ Il existe aussi une forme close, la formule de Binet : $$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}},$$ où \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) est le nombre d'or et \(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\). Les deux donnent les mêmes valeurs pour cette convention indexée à partir de 1, mais la formule de Binet perd en précision pour les grands \(n\) à cause des arrondis en virgule flottante. C'est pourquoi nous calculons le résultat de manière itérative, afin de garantir l'exactitude.
Exemple détaillé
Pour \(n = 12\), on construit la suite pas à pas : \(F_1=1\), \(F_2=1\), \(F_3=2\), \(F_4=3\), \(F_5=5\), \(F_6=8\), \(F_7=13\), \(F_8=21\), \(F_9=34\), \(F_{10}=55\), \(F_{11}=89\), \(F_{12}=144\). Donc \(F_{12} = 144\). Vérification avec Binet : \(\phi^{12}\) vaut environ 321{,}9969 et \(\psi^{12}\) environ 0{,}0031 ; or $$\frac{321{,}9969 - 0{,}0031}{\sqrt{5}} \approx 144{,}0,$$ ce qui confirme le résultat.
FAQ
Pourquoi \(F_1 = 1\) et \(F_2 = 1\), et non \(F_0 = 0\) ? Ce calculateur utilise la convention courante indexée à partir de 1, où la suite commence à l'indice 1. Dans la convention alternative indexée à partir de 0, on a \(F_0 = 0\) et \(F_1 = 1\) ; les valeurs sont simplement décalées d'un indice.
Gère-t-il les grandes valeurs de \(n\) ? Oui. Il s'appuie sur une arithmétique exacte sur grands entiers : même pour des indices élevés, il renvoie l'entier exact complet plutôt qu'une approximation.
Quelle est la plus petite valeur de \(n\) autorisée ? \(n\) doit être un entier positif, donc le minimum est \(n = 1\), ce qui donne \(F_1 = 1\).
