피보나치 수 계산기란?
이 도구는 임의의 양의 정수 순서 n에 대해 n번째 피보나치 수, 즉 \(F_n\)을 구해 줍니다. 피보나치 수열은 수학에서 가장 유명한 정수 수열 중 하나로, 각 항이 바로 앞 두 항의 합으로 정의됩니다. 초깃값을 \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\)로 두면 수열은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …처럼 끝없이 이어집니다. 피보나치 수는 자연, 예술, 컴퓨터 과학, 그리고 황금비에 이르기까지 다양한 곳에서 모습을 드러냅니다.
사용 방법
입력란에 순서 n(1, 2, 3, …)을 적고 실행하기만 하면 됩니다. 계산기는 \(F_n\)의 정확한 값을 돌려줍니다. 피보나치 수는 대략 \(\phi^n / \sqrt{5}\)에 비례해 커지므로 값이 순식간에 엄청나게 불어납니다. 그래서 이 도구는 부동소수점 대신 정확한 큰 정수(big integer) 연산을 사용합니다. 덕분에 결과가 아무리 커도 반올림 오차 없이 완벽하게 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
공식 풀이
피보나치 수를 정의하는 점화식은 \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\)을 초깃값으로 하는 다음과 같습니다.
$$F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_1 = F_2 = 1$$닫힌 형태의 공식인 비네(Binet) 공식도 있습니다.
$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$여기서 \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)는 황금비이고 \(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)입니다. 1부터 시작하는 이 방식에서는 두 공식 모두 같은 값을 주지만, 비네 공식은 n이 커질수록 부동소수점 반올림 때문에 정밀도가 떨어집니다. 그래서 이 계산기는 정확성을 위해 반복(iterative) 방식으로 값을 계산합니다.
풀이 예시
n = 12인 경우 수열을 차례대로 쌓아 봅니다. \(F_1=1\), \(F_2=1\), \(F_3=2\), \(F_4=3\), \(F_5=5\), \(F_6=8\), \(F_7=13\), \(F_8=21\), \(F_9=34\), \(F_{10}=55\), \(F_{11}=89\), \(F_{12}=144\). 따라서 \(F_{12} = 144\)입니다. 비네 공식으로 확인해 보면 \(\phi^{12}\)는 약 321.9969, \(\psi^{12}\)는 약 0.0031이고, $$\frac{321.9969 - 0.0031}{\sqrt{5}} \approx 144.0$$ 이 되어 결과가 일치함을 알 수 있습니다.
자주 묻는 질문
왜 \(F_0 = 0\)이 아니라 \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\)인가요? 이 계산기는 수열이 순서 1에서 시작하는, 널리 쓰이는 1부터 세는 방식을 따릅니다. 다른 방식인 0부터 세는 방식에서는 \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\)이 되며, 단지 순서가 한 칸씩 밀린 것일 뿐 값 자체는 같습니다.
n이 아주 커도 계산할 수 있나요? 네. 정확한 큰 정수 연산을 사용하므로 순서가 아무리 크더라도 근삿값이 아닌 완전한 정확한 정수를 돌려줍니다.
n의 최솟값은 얼마인가요? n은 양의 정수여야 하므로 최솟값은 n = 1이며, 이때 \(F_1 = 1\)입니다.
