피보나치 수열이란?
피보나치 수열은 수학에서 가장 유명한 규칙 중 하나입니다. 0과 1로 시작하며, 이후의 모든 수는 바로 앞의 두 수를 더한 값입니다. 즉 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… 이런 식으로 이어지죠. 이 계산기는 여러분이 입력한 음이 아닌 인덱스에 대해 n번째 항인 \(F(n)\)을 알려 주고, 그 지점까지의 모든 항의 누적 합과 수열이 점점 가까워지는 황금비 \(\varphi\)도 함께 보여 줍니다.
계산기 사용법
항의 인덱스 \(n\)(0부터 92까지의 정수)을 입력하면 \(F(n)\)이 즉시 표시됩니다. 상한을 92로 둔 이유는 일반적인 64비트 정밀도 안에서 정확한 값을 유지하기 위해서이며, 그 이상에서는 값이 근사치로 바뀝니다. 결과 화면에는 \(F(0)+F(1)+...+F(n)\)의 누적 합도 함께 나타나는데, 이는 편리하게도 \(F(n+2) - 1\)과 같습니다.
공식 이해하기
기본 규칙은 점화식 $$F(n) = F(n-1) + F(n-2),\quad F(0)=0,\ F(1)=1$$이며, 초깃값은 \(F(0)=0\), \(F(1)=1\)입니다. 또한 비네의 공식(Binet's formula)이라는 닫힌 형태의 식도 있습니다. $$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$이며, 여기서 \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\)은 황금비, \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\)는 그 켤레값입니다. n이 커질수록 이웃한 두 피보나치 수의 비 \(F(n+1)/F(n)\)은 \(\varphi\)에 점점 수렴합니다.
예제로 살펴보기
n = 10이라고 해 봅시다. 수열을 차근차근 쌓아 보면 \(F(2)=1\), \(F(3)=2\), \(F(4)=3\), \(F(5)=5\), \(F(6)=8\), \(F(7)=13\), \(F(8)=21\), \(F(9)=34\), \(F(10)=55\)가 됩니다. 따라서 \(F(10) = 55\)입니다. F(0)부터 F(10)까지의 합은 $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$입니다.
자주 묻는 질문
수열은 0부터 시작하나요, 1부터 시작하나요? 이 계산기는 표준 관례인 \(F(0)=0\), \(F(1)=1\)을 사용하므로 \(F(2)=1\)이 됩니다.
왜 n을 92로 제한하나요? \(F(92)\)는 64비트 부호 있는 정수에 정확히 들어맞는 가장 큰 피보나치 수입니다. 이보다 큰 인덱스는 정밀도를 잃게 됩니다.
황금비는 피보나치 수와 어떤 관계가 있나요? 각 피보나치 수를 바로 앞의 수로 나누면, 그 값은 \(\varphi \approx 1.6180339887\)에 점점 가까워집니다.
