फिबोनाची संख्या कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

पद सूचकांक (n) एक ऋण-रहित पूर्णांक दर्ज करें (0 से 92 तक)।

परिणाम

Fibonacci number F(10)

55

फिबोनाची श्रेणी का n-वाँ पद

पद सूचकांक (n)	10
F(0) से F(n) तक का योग	143
स्वर्णिम अनुपात φ	1.618034

फिबोनाची श्रेणी क्या है?

फिबोनाची श्रेणी गणित के सबसे प्रसिद्ध पैटर्न में से एक है। यह 0 और 1 से शुरू होती है, और इसके बाद की हर संख्या अपने ठीक पहले की दो संख्याओं का योग होती है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, और इसी तरह आगे। यह कैलकुलेटर आपके चुने हुए किसी भी ऋण-रहित (non-negative) सूचकांक के लिए \(F(n)\) यानी n-वाँ पद लौटाता है, साथ ही उस बिंदु तक के सभी पदों का चलता योग और वह स्वर्णिम अनुपात \(\varphi\) भी बताता है जिसकी ओर यह श्रेणी बढ़ती जाती है।

हर फिबोनाची संख्या अपने से पहले की दो संख्याओं का योग होती है, जिससे प्रसिद्ध सर्पिल बनती है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पद का सूचकांक \(n\) दर्ज करें (0 से 92 तक की एक पूर्ण संख्या) और कैलकुलेटर तुरंत \(F(n)\) लौटा देगा। 92 की ऊपरी सीमा इसलिए रखी गई है ताकि मानक 64-बिट परिशुद्धता में परिणाम बिल्कुल सटीक रहें; इससे आगे के मान केवल अनुमानित हो जाते हैं। परिणाम पैनल संचयी योग \(F(0)+F(1)+\dots+F(n)\) भी दिखाता है, जो सुविधाजनक रूप से \(F(n+2) - 1\) के बराबर होता है।

सूत्र की व्याख्या

इसका मूल नियम पुनरावृत्ति सूत्र है:

$$F(n) = F(n-1) + F(n-2),\quad F(0)=0,\ F(1)=1$$

जिसके बीज (शुरुआती मान) \(F(0)=0\) और \(F(1)=1\) हैं। एक बंद-रूप सूत्र भी है, जिसे बिने का सूत्र (Binet's formula) कहते हैं:

$$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$

जहाँ \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\) स्वर्णिम अनुपात है और \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) इसका संयुग्मी (conjugate) है। जैसे-जैसे \(n\) बढ़ता है, लगातार आने वाली फिबोनाची संख्याओं का अनुपात \(F(n+1)/F(n)\) धीरे-धीरे \(\varphi\) की ओर अभिसरित होता जाता है।

सूत्र: हर पद पिछले दो पदों के योग के बराबर होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(n = 10\)। श्रेणी को क्रम से बनाते हुए: \(F(2)=1\), \(F(3)=2\), \(F(4)=3\), \(F(5)=5\), \(F(6)=8\), \(F(7)=13\), \(F(8)=21\), \(F(9)=34\), \(F(10)=55\)। यानी \(F(10) = 55\)। \(F(0)\) से लेकर \(F(10)\) तक का योग $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$ होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या यह श्रेणी 0 से शुरू होती है या 1 से? यह कैलकुलेटर मानक परंपरा \(F(0)=0\) और \(F(1)=1\) का उपयोग करता है, इसलिए \(F(2)=1\) होता है।

n की सीमा 92 पर ही क्यों रखी गई है? \(F(92)\) वह सबसे बड़ी फिबोनाची संख्या है जो 64-बिट साइन्ड पूर्णांक में बिल्कुल सटीक समा जाती है; इससे बड़े सूचकांकों पर परिशुद्धता खो जाएगी।

स्वर्णिम अनुपात का फिबोनाची से क्या संबंध है? हर फिबोनाची संख्या को उसके पिछले पद से भाग देने पर जो मान मिलता है, वह \(\varphi \approx 1.6180339887\) के और-और करीब होता जाता है।