फिबोनाची श्रेणी क्या है?
फिबोनाची श्रेणी गणित के सबसे प्रसिद्ध पैटर्न में से एक है। यह 0 और 1 से शुरू होती है, और इसके बाद की हर संख्या अपने ठीक पहले की दो संख्याओं का योग होती है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, और इसी तरह आगे। यह कैलकुलेटर आपके चुने हुए किसी भी ऋण-रहित (non-negative) सूचकांक के लिए \(F(n)\) यानी n-वाँ पद लौटाता है, साथ ही उस बिंदु तक के सभी पदों का चलता योग और वह स्वर्णिम अनुपात \(\varphi\) भी बताता है जिसकी ओर यह श्रेणी बढ़ती जाती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पद का सूचकांक \(n\) दर्ज करें (0 से 92 तक की एक पूर्ण संख्या) और कैलकुलेटर तुरंत \(F(n)\) लौटा देगा। 92 की ऊपरी सीमा इसलिए रखी गई है ताकि मानक 64-बिट परिशुद्धता में परिणाम बिल्कुल सटीक रहें; इससे आगे के मान केवल अनुमानित हो जाते हैं। परिणाम पैनल संचयी योग \(F(0)+F(1)+\dots+F(n)\) भी दिखाता है, जो सुविधाजनक रूप से \(F(n+2) - 1\) के बराबर होता है।
सूत्र की व्याख्या
इसका मूल नियम पुनरावृत्ति सूत्र है:
$$F(n) = F(n-1) + F(n-2),\quad F(0)=0,\ F(1)=1$$जिसके बीज (शुरुआती मान) \(F(0)=0\) और \(F(1)=1\) हैं। एक बंद-रूप सूत्र भी है, जिसे बिने का सूत्र (Binet's formula) कहते हैं:
$$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}},\quad \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$$जहाँ \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\) स्वर्णिम अनुपात है और \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) इसका संयुग्मी (conjugate) है। जैसे-जैसे \(n\) बढ़ता है, लगातार आने वाली फिबोनाची संख्याओं का अनुपात \(F(n+1)/F(n)\) धीरे-धीरे \(\varphi\) की ओर अभिसरित होता जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 10\)। श्रेणी को क्रम से बनाते हुए: \(F(2)=1\), \(F(3)=2\), \(F(4)=3\), \(F(5)=5\), \(F(6)=8\), \(F(7)=13\), \(F(8)=21\), \(F(9)=34\), \(F(10)=55\)। यानी \(F(10) = 55\)। \(F(0)\) से लेकर \(F(10)\) तक का योग $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$ होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह श्रेणी 0 से शुरू होती है या 1 से? यह कैलकुलेटर मानक परंपरा \(F(0)=0\) और \(F(1)=1\) का उपयोग करता है, इसलिए \(F(2)=1\) होता है।
n की सीमा 92 पर ही क्यों रखी गई है? \(F(92)\) वह सबसे बड़ी फिबोनाची संख्या है जो 64-बिट साइन्ड पूर्णांक में बिल्कुल सटीक समा जाती है; इससे बड़े सूचकांकों पर परिशुद्धता खो जाएगी।
स्वर्णिम अनुपात का फिबोनाची से क्या संबंध है? हर फिबोनाची संख्या को उसके पिछले पद से भाग देने पर जो मान मिलता है, वह \(\varphi \approx 1.6180339887\) के और-और करीब होता जाता है।
