フィボナッチ数列とは？
フィボナッチ数列は、数学で最も有名な数のパターンのひとつです。0と1から始まり、それ以降はすべて直前の2つの数を足し合わせて作られます。つまり 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… と続いていきます。この計算ツールでは、0以上の好きな番号を指定すると、そのn番目の項である\(F(n)\)を求められます。さらに、そこまでの全項の累積和と、数列が近づいていく黄金比\(\varphi\)も同時に表示します。
この計算ツールの使い方
項の番号n（0から92までの整数）を入力すると、\(F(n)\)が瞬時に表示されます。上限を92にしているのは、一般的な64ビット精度の範囲で正確な値を保つためです。それを超えると結果は近似値になってしまいます。結果欄には累積和 \(F(0)+F(1)+\dots+F(n)\) も表示され、これは便利なことに \(F(n+2) - 1\) と一致します。
計算式の解説
基本となるのは、初期値 \(F(0)=0\)、\(F(1)=1\) と、漸化式 $$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$ です。また「ビネの公式」として知られる閉じた形の式もあります。$$F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}$$ で、ここで \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618\) が黄金比、\(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\) はその共役です。nが大きくなるにつれて、隣り合うフィボナッチ数の比 \(F(n+1)/F(n)\) は\(\varphi\)に収束していきます。
計算例
n = 10 の場合を考えてみましょう。数列を順に作っていくと、\(F(2)=1\)、\(F(3)=2\)、\(F(4)=3\)、\(F(5)=5\)、\(F(6)=8\)、\(F(7)=13\)、\(F(8)=21\)、\(F(9)=34\)、\(F(10)=55\) となります。したがって \(F(10) = 55\) です。F(0)からF(10)までの和は $$F(12) - 1 = 144 - 1 = 143$$ になります。
よくある質問
数列は0と1のどちらから始まりますか？ この計算ツールは標準的な慣例にしたがい、\(F(0)=0\)、\(F(1)=1\) としています。そのため \(F(2)=1\) となります。
なぜnは92までなのですか？ \(F(92)\)は64ビット符号付き整数にちょうど収まる最大のフィボナッチ数だからです。これより大きい番号では精度が失われてしまいます。
黄金比とフィボナッチにはどんな関係がありますか？ 各フィボナッチ数を直前の数で割っていくと、その値は\(\varphi \approx 1.6180339887\) にどんどん近づいていきます。
