三角数とは？
三角数とは、正三角形の形に並べられる点（オブジェクト）の個数を表す数です。第n三角数は\(T(n)\)と書き、1から\(n\)までのすべての正の整数を足し合わせた合計を意味します。数列は1, 3, 6, 10, 15, 21, 28…と続き、各項は次の整数を順に加えていく形になります。この計算機では、0以上の整数を入力すると、その値に対応する\(T(n)\)を求められます。
計算機の使い方
入力欄に項の番号\(n\)（例：10）を入力して送信するだけです。計算機がすぐに三角数を返します。これは1から\(n\)までのすべての整数を足し合わせた合計と同じ値です。0を入力すると、足すものがないため結果は0になります。
公式の解説
三角数の閉じた形（クローズドフォーム）の公式は$$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$です。1つずつ順番に足していく代わりに、\(n\)に次の整数\((n+1)\)を掛けて、その結果を2で割ります。これがうまくいくのは、最初の項と最後の項、2番目と最後から2番目…というように両端からペアを作ると、どのペアの和も必ず\((n+1)\)になり、そうしたペアが\(n/2\)組できるためです。数学者カール・フリードリヒ・ガウスが少年時代に1から100までの和を5050と即座に求めたという逸話は有名ですが、これも実際に確かめられます：\(100 \times 101 / 2 = 5050\)。
計算例
\(n = 10\)の場合を考えてみましょう。$$T(10) = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$$となります。つまり\(1 + 2 + 3 + \dots + 10 = 55\)であり、55個の点は、最下段に10個の点が並ぶきれいな三角形に積み上げることができます。
よくある質問（FAQ）
100番目の三角数は？ \(T(100) = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050\)です。
nに小数を入力できますか？ 三角数は0以上の整数に対して定義されるため、この計算機は入力値の整数部分を使用します。
T(n)は必ず整数になりますか？ はい。\(n\)または\(n+1\)のいずれかは必ず偶数なので、\(n(n+1)\)は常に2で割り切れます。
