삼각수란 무엇인가요?
삼각수는 정삼각형 모양으로 배열할 수 있는 점(또는 물건)의 개수를 뜻합니다. n번째 삼각수는 T(n)으로 표기하며, 1부터 n까지의 모든 양의 정수를 더한 값입니다. 수열은 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 …로 이어지는데, 항이 하나씩 늘어날 때마다 다음 자연수가 더해지는 구조입니다. 이 계산기는 0 이상의 정수를 입력하면 그에 해당하는 \(T(n)\)을 바로 알려 줍니다.
계산기 사용 방법
입력란에 항 번호 \(n\)(예: 10)을 적고 실행하면 됩니다. 그러면 삼각수가 즉시 나오는데, 이는 1부터 n까지 모든 정수를 더한 합계와 같습니다. 0을 입력하면 더할 값이 없으므로 결과는 0이 됩니다.
공식 자세히 알아보기
삼각수의 일반항(닫힌 형식) 공식은 다음과 같습니다.
$$T_n = \frac{\text{Term (n)}\left(\text{Term (n)}+1\right)}{2}$$
1부터 차례로 더하는 대신, n에 바로 다음 정수인 (n+1)을 곱한 뒤 2로 나누면 됩니다. 이렇게 계산할 수 있는 이유는, 맨 앞과 맨 뒤 항, 두 번째와 끝에서 두 번째 항을 짝지으면 그 합이 항상 (n+1)로 일정하고, 이런 짝이 모두 n/2개 생기기 때문입니다. 어린 카를 프리드리히 가우스가 1부터 100까지를 더해 순식간에 5050을 구해 냈다는 일화가 유명한데, 이 공식으로 직접 확인할 수 있습니다. \(100 \times 101 / 2 = 5050\)이죠.
풀이 예제
n = 10이라고 해 봅시다. 그러면
$$T(10) = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$$
입니다. 따라서 \(1 + 2 + 3 + \dots + 10 = 55\)가 되고, 점 55개를 맨 아래 줄에 10개가 놓이도록 차곡차곡 쌓으면 깔끔한 삼각형 모양이 만들어집니다.
자주 묻는 질문
100번째 삼각수는 얼마인가요? \(T(100) = 100 \times 101 / 2 = 5050\)입니다.
n에 소수를 넣어도 되나요? 삼각수는 0 이상의 정수에 대해 정의되므로, 계산기는 입력값의 정수 부분만 사용합니다.
T(n)은 항상 정수인가요? 네. n과 n+1 중 하나는 반드시 짝수이므로 \(n(n+1)\)은 언제나 2로 나누어떨어집니다.
