ما هو العدد المثلثي؟
العدد المثلثي هو عدد الأشياء التي يمكن ترتيبها على شكل مثلث متساوي الأضلاع. والعدد المثلثي النوني، الذي يُرمز له بـ \(T(n)\)، هو مجموع جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 حتى n. تبدأ المتتالية على هذا النحو: 1، 3، 6، 10، 15، 21، 28 — حيث يضيف كل حد العدد الصحيح التالي. تعطيك هذه الحاسبة قيمة \(T(n)\) لأي عدد صحيح غير سالب تُدخله.
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب رقم الحد n (مثلًا 10) في خانة الإدخال ثم اضغط على زر الحساب. تعرض لك الحاسبة العدد المثلثي على الفور، وهو نفسه الناتج الذي تحصل عليه إذا جمعت كل عدد صحيح من 1 إلى n. وإذا أدخلت 0 فستحصل على 0، لأنه لا يوجد ما يُجمع.
شرح القانون
القانون المغلق هو $$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}.$$ فبدلًا من جمع الأعداد واحدًا تلو الآخر، تضرب n في العدد الصحيح التالي (n+1) ثم تقسم الناتج على 2. وسبب نجاح هذه الطريقة أنك إذا جمعت الحد الأول مع الأخير، ثم الثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا، فإن الناتج يكون دائمًا (n+1)، وعدد هذه الأزواج يساوي \(n/2\). ومن أشهر القصص أن عالم الرياضيات كارل فريدريش غاوس اكتشف هذه الطريقة وهو تلميذ صغير عندما جمع الأعداد من 1 إلى 100 فحصل على 5050 — ويمكنك التحقق من ذلك بنفسك: \(100 \times 101 \div 2 = 5050\).
مثال محلول
لنفترض أن n = 10. عندئذٍ يكون $$T(10) = 10 \times (10 + 1) \div 2 = 10 \times 11 \div 2 = 110 \div 2 = 55.$$ إذن مجموع 1 + 2 + 3 + ... + 10 يساوي 55، ويمكن ترتيب 55 نقطة في مثلث منتظم يحتوي صفه السفلي على 10 نقاط.
الأسئلة الشائعة
ما هو العدد المثلثي المئة؟ \(T(100) = 100 \times 101 \div 2 = 5050\).
هل يمكن أن يكون n عددًا عشريًا؟ تُعرَّف الأعداد المثلثية للأعداد الصحيحة غير السالبة فقط، لذلك تستخدم الحاسبة الجزء الصحيح من القيمة التي تُدخلها.
هل يكون \(T(n)\) دائمًا عددًا صحيحًا؟ نعم. فإما أن يكون n زوجيًا أو يكون n+1 زوجيًا، وبذلك يكون حاصل ضرب \(n(n+1)\) قابلًا للقسمة على 2 دائمًا.
