什么是三角形数？
三角形数指的是能够排列成一个等边三角形的点（或物体）的个数。第 n 个三角形数记作 \(T(n)\)，等于从 1 到 n 所有正整数相加的总和。这个数列从 1、3、6、10、15、21、28 开始，每一项都比前一项多加上下一个整数。只要你输入任意一个非负整数，本计算器就能立即返回对应的 \(T(n)\)。
如何使用本计算器
在输入框中填入项数 n（例如 10），然后提交即可。计算器会立刻给出对应的三角形数，它同时也是把 1 到 n 每个整数全部相加后得到的总和。如果输入 0，结果就是 0，因为没有任何数可加。
公式详解
它的封闭式公式为 $$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}.$$无需逐个相加，只要把 n 乘以下一个整数 \((n+1)\)，再除以 2 即可。这个公式之所以成立，是因为把第一项和最后一项、第二项和倒数第二项……依次配对，每一对的和都等于 \((n+1)\)，而这样的配对共有 \(n/2\) 组。著名的故事是：数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）小时候在课堂上把 1 加到 100，瞬间算出 5050。你也可以亲自验证：$$100 \times 101 / 2 = 5050.$$
例题演示
假设 \(n = 10\)，那么 $$T(10) = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55.$$也就是说，\(1 + 2 + 3 + \dots + 10\) 的和等于 55，而这 55 个点正好可以堆成一个底边有 10 个点的标准三角形。
常见问题
第 100 个三角形数是多少？ \(T(100) = \frac{100 \times 101}{2} = 5050\)。
n 可以是小数吗？ 三角形数仅对非负整数有定义，因此计算器会取你所输入数值的整数部分进行计算。
T(n) 一定是整数吗？ 是的。因为 n 与 n+1 中必有一个是偶数，所以 \(n(n+1)\) 总能被 2 整除。
