परिणाम

Triangular Number T₁₀

sum of integers 1 to 10

पद (n)	10
सूत्र	n(n+1)/2

त्रिकोणीय संख्या क्या होती है?

त्रिकोणीय संख्या उन वस्तुओं की गिनती बताती है जिन्हें एक समबाहु त्रिभुज के आकार में सजाया जा सकता है। nवीं त्रिकोणीय संख्या, जिसे $T(n)$ लिखा जाता है, 1 से लेकर $n$ तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का योग होती है। यह श्रेणी 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 से शुरू होती है — हर पद में अगली पूर्ण संख्या जुड़ती जाती है। आप जो भी अऋणात्मक (non-negative) पूर्ण संख्या डालेंगे, यह कैलकुलेटर उसके लिए $T(n)$ बता देगा।

बिंदुओं की त्रिकोणीय व्यवस्था जो 1 से 4 पंक्तियों तक बढ़ती है — त्रिकोणीय संख्याएँ त्रिभुज में जमे बिंदु होती हैं: 1, 3, 6, 10।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

इनपुट बॉक्स में पद संख्या $n$ (उदाहरण के लिए 10) टाइप करें और सबमिट कर दें। कैलकुलेटर तुरंत त्रिकोणीय संख्या दिखा देगा, जो वही कुल योग है जो आपको 1 से $n$ तक के हर पूर्णांक को जोड़ने पर मिलता है। अगर आप 0 डालते हैं तो परिणाम 0 आएगा, क्योंकि जोड़ने के लिए कुछ है ही नहीं।

सूत्र की व्याख्या

इसका बंद-रूप सूत्र (closed-form formula) है $$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}$$ एक-एक करके संख्याएँ जोड़ने के बजाय, आप $n$ को अगले पूर्णांक $(n+1)$ से गुणा करते हैं और परिणाम को आधा कर देते हैं। यह इसलिए काम करता है क्योंकि पहले और आखिरी पद, दूसरे और दूसरे-आखिरी पद, और इसी तरह आगे जोड़ें — हर जोड़ी का योग हमेशा $(n+1)$ ही रहता है, और ऐसी कुल $n/2$ जोड़ियाँ बनती हैं। यह कहानी मशहूर है कि कार्ल फ्रीड्रिख गाउस ने बचपन में स्कूल में ही 1 से 100 तक का योग 5050 निकालकर इस तरीके को खोज लिया था — और आप इसे खुद जाँच सकते हैं: $100 \times 101 / 2 = 5050$।

बिंदुओं के दो जुड़े त्रिभुज जो n गुणा n+1 का आयत बनाते हैं — $T(n)$ की दो प्रतियाँ मिलकर $n$ गुणा $(n+1)$ का आयत बनाती हैं, जिससे $T(n)=n(n+1)/2$।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $n = 10$। तब $$T(10) = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$$ यानी योग $1 + 2 + 3 + ... + 10$ बराबर 55 होता है, और इन 55 बिंदुओं को एक सुंदर त्रिभुज के रूप में सजाया जा सकता है जिसकी सबसे नीचे की पंक्ति में 10 बिंदु होंगे।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

100वीं त्रिकोणीय संख्या क्या है? $T(100) = 100 \times 101 / 2 = 5050$।

क्या $n$ दशमलव संख्या हो सकती है? त्रिकोणीय संख्याएँ केवल अऋणात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए परिभाषित होती हैं, इसलिए कैलकुलेटर आपके इनपुट का पूर्णांक हिस्सा ही लेता है।

क्या $T(n)$ हमेशा पूर्ण संख्या होती है? हाँ। $n$ या $n+1$ में से कोई एक सम (even) ज़रूर होता है, इसलिए $n(n+1)$ हमेशा 2 से पूरी तरह विभाजित हो जाता है।

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