मिथ्या स्थिति विधि मूल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

f(x)

a

b

Choose a and b so that f(a) and f(b) have opposite signs (f(a)·f(b) ≤ 0).

n (अधिकतम पुनरावृत्तियाँ) 10 20 50 100 200 500

अंक 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

परिणाम

Approximate root x where f(x) ≈ 0

0.7390851332149927

मिथ्या स्थिति (Regula Falsi)

मूल x	0.7390851332149927
पुनरावृत्तियाँ	10
मूल पर f(x)	-0.000000000000281108

मिथ्या स्थिति विधि क्या है?

मिथ्या स्थिति विधि (लैटिन में regula falsi, जिसे "कैंची विधि" भी कहते हैं) f(x) = 0 को हल करने की एक ब्रैकेटिंग (परिबद्ध) मूल-खोज तकनीक है। द्विभाजन विधि की तरह इसे भी एक प्रारंभिक अंतराल [a, b] की ज़रूरत होती है जिस पर फ़ंक्शन का चिह्न बदलता हो, यानी \(f(a)\cdot f(b) \le 0\) हो ताकि यह तय हो कि a और b के बीच कोई मूल मौजूद है। अंतराल को हर बार आधा करने के बजाय यह विधि दोनों सिरों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा खींचती है और उस रेखा के x-अक्ष को काटने वाले बिंदु को अगला अनुमान मान लेती है — यही कारण है कि यह आमतौर पर द्विभाजन से तेज़ी से अभिसरण (converge) करती है।

मिथ्या स्थिति विधि सिरों को एक सीधी रेखा से जोड़ती है; इसका x-अक्ष पर कटाव अगला अनुमान देता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपना फ़ंक्शन f(x) के रूप में सामान्य संकेतन में डालें: + - * / ^, कोष्ठक, तथा sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, cbrt जैसे फ़ंक्शन। निचला सिरा a और ऊपरी सिरा b इस तरह तय करें कि f(a) और f(b) के चिह्न विपरीत हों। अधिकतम पुनरावृत्तियों की संख्या और दिखाने के लिए सार्थक अंकों की संख्या चुनें। परिणाम में अनुमानित मूल x, कितनी पुनरावृत्तियाँ हुईं, और अवशेष f(x) दिखता है, जो शून्य के बहुत क़रीब होना चाहिए।

सूत्र की व्याख्या

हर चरण में अगला अनुमान ब्रैकेट के सिरों से गुज़रती छेदक रेखा (secant line) का x-अंतःखंड होता है:

$$x_n = \frac{a_n\cdot f(b_n) - b_n\cdot f(a_n)}{f(b_n) - f(a_n)}$$

यदि f(x_n) का चिह्न f(a_n) के समान हो, तो a की जगह x_n रख दिया जाता है; अन्यथा b की जगह। इससे चिह्न-परिवर्तन — और इसलिए ब्रैकेट किया गया मूल — बना रहता है। पुनरावृत्ति तब रुकती है जब \(|f(x_n)|\) सहनशीलता (लगभग 1e-12) से नीचे आ जाए या पुनरावृत्ति की सीमा पूरी हो जाए।

हर चरण के बाद नए बिंदु के समान चिह्न वाला सिरा बदल दिया जाता है, जिससे मूल अंतराल में बना रहता है।

हल किया हुआ उदाहरण

f(x) = x − cos(x) के लिए [-10, 10] पर: \(f(-10) \approx -10.839\) (ऋणात्मक) और \(f(10) \approx 10.839\) (धनात्मक), अतः यह अंतराल एक मूल को ब्रैकेट करता है। यह विधि \(x \approx 0.7390851332\) पर अभिसरित होती है, जहाँ \(f(x) \approx 0\) है। यह मान कोसाइन का प्रसिद्ध स्थिर बिंदु (fixed point) है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

\(f(a)\cdot f(b) \le 0\) होना ज़रूरी क्यों है? चिह्न-परिवर्तन इस बात की गारंटी देता है कि कोई सतत (continuous) फ़ंक्शन अंतराल के भीतर शून्य को पार करता है। इसके बिना विधि के पास ढूँढ़ने के लिए कोई मूल नहीं हो सकता और टूल एक चेतावनी दिखाता है।

अभिसरण धीमा क्यों हो सकता है? तीव्र वक्रता वाले फ़ंक्शनों में एक सिरा स्थिर रह सकता है, जिससे धीमा रैखिक अभिसरण होता है। यह regula falsi का सामान्य व्यवहार है, और इसीलिए पुनरावृत्तियों की संख्या पर सीमा रखी जाती है।

यदि हर (denominator) शून्य हो तो क्या होगा? यदि f(b), f(a) के बराबर हो जाए, तो छेदक रेखा क्षैतिज हो जाती है और उसका कोई अद्वितीय अंतःखंड नहीं होता; ऐसे में कैलकुलेटर शून्य से भाग देने के बजाय एक त्रुटि दिखाता है।