¿Qué es el método de la falsa posición?
El método de la falsa posición (del latín regula falsi, también conocido como "método de las cuerdas") es una técnica de cierre de intervalo para hallar raíces y resolver \(f(x) = 0\). Al igual que la bisección, parte de un intervalo inicial \([a, b]\) en el que la función cambia de signo, de modo que si \(f(a)\cdot f(b) \le 0\) se garantiza que existe una raíz entre a y b. Sin embargo, en lugar de dividir el intervalo siempre por la mitad, traza una recta entre los dos extremos y toma como nueva estimación el punto donde esa recta corta al eje x, lo que suele converger más rápido que la bisección.
Cómo usar esta calculadora
Escribe tu función como f(x) con la notación habitual: + - * / ^, paréntesis y funciones como sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, cbrt. Fija el extremo inferior a y el extremo superior b de forma que f(a) y f(b) tengan signos opuestos. Elige el número máximo de iteraciones y la cantidad de cifras significativas que quieres ver. El resultado muestra la raíz aproximada x, cuántas iteraciones se realizaron y el residuo f(x), que debería ser muy próximo a cero.
La fórmula explicada
En cada paso, la siguiente estimación es el punto donde la recta secante que une los extremos del intervalo corta al eje x:
$$x_n = \frac{ a_n\cdot f(b_n) - b_n\cdot f(a_n) }{ f(b_n) - f(a_n) }.$$
Si \(f(x_n)\) tiene el mismo signo que \(f(a_n)\), entonces a se sustituye por \(x_n\); en caso contrario se sustituye b. Así se mantiene el cambio de signo — y, por tanto, la raíz dentro del intervalo — intacto. La iteración se detiene cuando \(|f(x_n)|\) cae por debajo de la tolerancia (en torno a 1e-12) o cuando se alcanza el límite de iteraciones.
Ejemplo resuelto
Para \(f(x) = x - \cos(x)\) en \([-10, 10]\): \(f(-10) \approx -10{,}839\) (negativo) y \(f(10) \approx 10{,}839\) (positivo), así que el intervalo encierra una raíz. El método converge a \(x \approx 0{,}7390851332\), donde \(f(x) \approx 0\). Ese valor es el conocido punto fijo del coseno.
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(f(a)\cdot f(b)\) debe ser \(\le 0\)? Un cambio de signo asegura que una función continua cruza el cero dentro del intervalo. Sin él, puede que no haya ninguna raíz que encontrar y la herramienta muestra una advertencia.
¿Por qué a veces converge despacio? En funciones con mucha curvatura, uno de los extremos puede quedarse fijo, lo que provoca una convergencia lineal lenta. Es un comportamiento normal de la regula falsi y por eso se limita el número de iteraciones.
¿Qué ocurre si el denominador es cero? Si f(b) es igual a f(a), la recta secante es horizontal y no tiene un único punto de corte; la calculadora muestra un error en lugar de dividir por cero.
