¿Qué es el método de Halley?
El método de Halley es una técnica numérica iterativa para resolver ecuaciones de la forma \(f(x) = 0\). Es un pariente de tercer orden (convergencia cúbica) del método de Newton-Raphson: mientras que Newton solo emplea la función y su primera derivada, Halley añade además la segunda derivada, lo que suele permitirle alcanzar una precisión dada en menos iteraciones. Se trata de una herramienta universal de matemáticas y análisis numérico, aplicable en cualquier contexto; los ángulos dentro de las funciones trigonométricas se interpretan en radianes.
Cómo utilizarla
Introduce en \(f(x)\) la función cuya raíz quieres hallar y, a continuación, proporciona su primera derivada \(f'(x)\) y su segunda derivada \(f''(x)\) como expresiones en \(x\). La sintaxis admitida incluye +, -, *, /, ^ para potencias, paréntesis y funciones como sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt y abs, además de las constantes pi y e. Elige un valor inicial \(x_0\) cercano a la raíz que buscas, fija un número máximo de iteraciones \(n\) y selecciona cuántas cifras significativas quieres mostrar.
La fórmula explicada
En cada paso se calcula $$x_{n+1} = x_n - \frac{2\,f(x_n)\,f'(x_n)}{2\,[f'(x_n)]^2 - f(x_n)\,f''(x_n)}.$$ El numerador es la corrección habitual de Newton (escalada), mientras que el término adicional del denominador, \(- f(x_n)\,f''(x_n)\), corrige la curvatura de \(f\) y acelera la convergencia. El proceso se detiene cuando la variación de \(x\) o el residuo \(f(x)\) caen por debajo de una tolerancia mínima, o cuando se alcanza el límite de iteraciones. Si el denominador llega a valer cero, el método falla y conviene probar con otro \(x_0\).
Ejemplo resuelto
Para \(f(x) = x - \cos(x)\), \(f'(x) = 1 + \sin(x)\), \(f''(x) = \cos(x)\), partiendo de \(x_0 = 1\): el primer paso da $$x_1 = 1 - \frac{2 \times 0.4596977 \times 1.8414710}{2 \times 1.8414710^2 - 0.4596977 \times 0.5403023} = 1 - \frac{1.6930504}{6.5336550} = 0.7408769.$$ La iteración converge rápidamente al número de Dottie \(x = 0.7390851332151607\), la única solución de \(x = \cos(x)\).
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia el método de Halley del de Newton? El método de Newton ignora la curvatura; el de Halley incorpora el término de la segunda derivada, lo que le da una convergencia cúbica en lugar de cuadrática y, normalmente, menos iteraciones por cada cifra correcta.
¿Por qué debo introducir las derivadas? Esta calculadora confía en las derivadas que le proporciones. Si son incorrectas, la convergencia será mala o fracasará. Calcula \(f'(x)\) y \(f''(x)\) derivando \(f(x)\) con cuidado.
¿Y si no converge? El método encuentra la raíz más próxima a \(x_0\). Un punto de partida poco adecuado puede divergir o llevar a otra raíz distinta, y un denominador que se anula lo detiene por completo. Cambia \(x_0\) o revisa las expresiones de tus derivadas.
