हैली विधि क्या है?

हैली विधि f(x) = 0 रूप वाले समीकरण को हल करने की एक पुनरावृत्तीय (iterative) संख्यात्मक तकनीक है। यह न्यूटन-रैफसन विधि की ही तीसरे क्रम वाली (क्यूबिक-अभिसरण) करीबी मानी जाती है: जहाँ न्यूटन विधि केवल फलन और उसके पहले अवकलज का प्रयोग करती है, वहीं हैली विधि दूसरे अवकलज को भी जोड़ती है, जिससे आमतौर पर किसी दी गई सटीकता तक कम पुनरावृत्तियों में ही पहुँचा जा सकता है। यह एक सार्वभौमिक गणित / संख्यात्मक-विश्लेषण उपकरण है और हर जगह लागू होता है; त्रिकोणमितीय फलनों के अंदर दिए गए कोण रेडियन में माने जाते हैं।

वक्र f(x) एक मूल पर x-अक्ष को काटता हुआ, जिसके क्रमिक पुनरावृत्ति बिंदु उसकी ओर अभिसरित होते हैं — हैली विधि एक अनुमान को बार-बार परिष्कृत करती है जब तक वह उस मूल पर अभिसरित न हो जाए जहाँ $f(x)=0$ होता है।

इसका उपयोग कैसे करें

जिस फलन का मूल आप खोजना चाहते हैं उसे $f(x)$ के रूप में दर्ज करें, फिर उसका पहला अवकलज $f'(x)$ और दूसरा अवकलज $f''(x)$ x में व्यंजक के रूप में दें। समर्थित सिंटैक्स में घातों के लिए +, -, *, /, ^, कोष्ठक तथा sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt और abs जैसे फलन, और pi व e जैसे स्थिरांक शामिल हैं। अपने इच्छित मूल के पास एक प्रारंभिक अनुमान $x_0$ चुनें, अधिकतम पुनरावृत्ति संख्या $n$ तय करें, और चुनें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) प्रदर्शित करने हैं।

सूत्र की व्याख्या

हर चरण $$x_{n+1} = x_n - \frac{2\,f(x_n)\,f'(x_n)}{2\,[f'(x_n)]^2 - f(x_n)\,f''(x_n)}$$ की गणना करता है। अंश (numerator) सामान्य न्यूटन सुधार (स्केल किया हुआ) है, जबकि हर (denominator) में अतिरिक्त पद $- f(x_n) f''(x_n)$ फलन f की वक्रता (curvature) के लिए सुधार करता है, जिससे अभिसरण तेज़ होता है। जब x में परिवर्तन या अवशेष (residual) $f(x)$ किसी अत्यंत छोटे सहन-स्तर से नीचे आ जाता है, या पुनरावृत्ति की सीमा पूरी हो जाती है, तब लूप रुक जाता है। यदि हर शून्य हो जाए तो विधि विफल हो जाती है और आपको कोई अलग $x_0$ आज़माना चाहिए।

एक बिंदु पर फलन का सन्निकटन करती स्पर्शरेखा और वक्रता वाली संस्पर्शी वक्र दिखाता आरेख — हैली विधि ढलान $f'(x)$ और वक्रता $f''(x)$ दोनों का उपयोग करती है, और एक ऐसा वक्र फिट करती है जो सीधी स्पर्शरेखा की तुलना में फलन से बेहतर सटता है।

हल किया गया उदाहरण

$f(x) = x - \cos(x)$, $f'(x) = 1 + \sin(x)$, $f''(x) = \cos(x)$ के लिए, $x_0 = 1$ से शुरू करते हुए: पहला चरण देता है $$x_1 = 1 - \frac{2 \times 0.4596977 \times 1.8414710}{2 \times 1.8414710^2 - 0.4596977 \times 0.5403023} = 1 - \frac{1.6930504}{6.5336550} = 0.7408769$$ यह पुनरावृत्ति शीघ्र ही डॉटी संख्या (Dottie number) $x = 0.7390851332151607$ पर स्थिर हो जाती है, जो $x = \cos(x)$ का एकमात्र हल है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

हैली विधि न्यूटन विधि से कैसे अलग है? न्यूटन विधि वक्रता को अनदेखा करती है; हैली विधि दूसरे-अवकलज वाला पद जोड़ती है, जिससे द्विघात (quadratic) के बजाय क्यूबिक अभिसरण मिलता है, और आमतौर पर हर सही अंक के लिए कम पुनरावृत्तियाँ लगती हैं।

मुझे अवकलज क्यों दर्ज करने पड़ते हैं? यह कैलकुलेटर आपके दिए गए अवकलजों पर भरोसा करता है। यदि वे गलत होंगे, तो अभिसरण कमज़ोर रहेगा या असफल हो जाएगा। $f(x)$ का सावधानी से अवकलन करके $f'(x)$ और $f''(x)$ निकालें।

अगर अभिसरण न हो तो क्या करें? यह विधि $x_0$ के सबसे निकट वाला मूल खोजती है। खराब प्रारंभिक बिंदु से परिणाम अपसरित (diverge) हो सकता है या किसी दूसरे मूल पर जा सकता है, और हर के शून्य होने पर प्रक्रिया पूरी तरह रुक जाती है। ऐसे में $x_0$ बदलें या अपने अवकलज व्यंजकों की जाँच करें।

प्रयुक्त पुनरावृत्तियाँ	3
अंतिम अवशेष f(x)	0.0
स्थिति	Converged

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