वृक्षारोपण (उएकिज़ान) समस्या क्या है?
वृक्षारोपण समस्या, जिसे जापान की प्राथमिक गणित में "उएकिज़ान" कहा जाता है, एक ऐसी पहेली है जिसमें किसी निश्चित दूरी पर वस्तुओं को समान अंतराल पर रखकर उनके बीच का अंतर निकाला जाता है। इसका सबसे मशहूर पेच यह है कि वस्तुओं की संख्या और उनके बीच के अंतरालों की संख्या में हमेशा एक का फर्क रहता है। यह टूल इस पहेली के हर रूप के पीछे छिपे सार्वभौमिक गणित को आसानी से हल कर देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
दोनों छोर बिंदुओं के बीच की कुल दूरी डालें (जैसे दो इमारतों के बीच), कितने पेड़ लगाने हैं उनकी संख्या भरें और लेआउट मोड चुनें। कैलकुलेटर आपको अंतरालों (gaps) की संख्या और हर दो आसन्न पेड़ों के बीच मीटर में दूरी बता देगा।
फॉर्मूला समझें
अंतराल यानी spacing निकालना बेहद सरल है — कुल लंबाई को अंतरालों की संख्या से भाग दे दीजिए।
$$\text{Spacing} = \frac{\text{Total Distance}}{\text{Trees} - 1}$$असली खेल अंतरालों की संख्या में है, जो लेआउट के साथ बदलती है: अगर दोनों सिरों पर पेड़ हों तो \(N - 1\) अंतराल मिलते हैं; सिर्फ एक सिरे पर पेड़ हो या यह बंद वृत्त (loop) हो तो \(N\) अंतराल होते हैं; और अगर किसी भी सिरे पर पेड़ न हो तो \(N + 1\) अंतराल बनते हैं। गलत नियम चुन लेना ही इस पहेली की सबसे आम भूल है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए इमारत A और इमारत B के बीच की दूरी 100 मीटर है और आप 11 पेड़ लगाते हैं, एक-एक हर सिरे पर। चूंकि दोनों सिरों पर पेड़ लगे हैं, इसलिए अंतरालों की संख्या होगी \(11 - 1 = 10\)। अब अंतराल = \(100 / 10 = 10\) मीटर। एक आम गलती है 100 को सीधे 11 से भाग देना, जिससे गलत जवाब लगभग 9.09 मीटर आ जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
दोनों सिरों वाले लेआउट में एक क्यों घटाया जाता है? हर छोर बिंदु पर एक पेड़ बैठता है, इसलिए \(N\) पेड़ों के बीच केवल \(N - 1\) खाली जगहें बचती हैं।
गोलाकार तालाब के लिए क्या करें? बंद वृत्त में आखिरी पेड़ फिर से पहले पेड़ से जुड़ जाता है, इसलिए अंतरालों की संख्या पेड़ों की संख्या के बराबर हो जाती है: \(\text{अंतराल} = \frac{\text{परिधि}}{N}\)।
क्या मैं पेड़ का अंश (fraction) डाल सकता हूं? नहीं। पेड़ों की संख्या को पूर्ण संख्या में गोल कर दिया जाता है, क्योंकि आधा-अधूरा पेड़ तो लगाया नहीं जा सकता।
