कोसाइन सिमिलैरिटी क्या है?
कोसाइन सिमिलैरिटी यह मापती है कि दो वेक्टर आपस में कितने मिलते-जुलते हैं — और यह उनके आकार (मैग्नीट्यूड) के बजाय उनके बीच के कोण को देखती है। इसका मान −1 से 1 के बीच आता है, जहाँ 1 का मतलब है कि दोनों वेक्टर बिल्कुल एक ही दिशा में हैं, 0 का मतलब है कि वे एक-दूसरे के लंबवत (असंबंधित) हैं, और −1 का मतलब है कि वे ठीक विपरीत दिशा में इशारा कर रहे हैं। टेक्स्ट माइनिंग, रिकमेंडेशन सिस्टम, इन्फॉर्मेशन रिट्रीवल और मशीन लर्निंग में दस्तावेज़ों, एम्बेडिंग्स या फ़ीचर वेक्टर की तुलना के लिए इसका व्यापक उपयोग होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वेक्टर A और वेक्टर B के घटकों को कॉमा से अलग संख्याओं के रूप में दर्ज करें। दोनों वेक्टर में आयामों (डाइमेंशन) की संख्या समान होनी चाहिए (अगर अलग-अलग हो, तो कैलकुलेटर छोटी लंबाई का उपयोग करता है)। "Calculate" पर क्लिक करते ही आपको कोसाइन सिमिलैरिटी, डॉट प्रोडक्ट, हर वेक्टर का मैग्नीट्यूड और दोनों वेक्टर के बीच का कोण (डिग्री में) दिख जाएगा।
फ़ॉर्मूला समझें
कोसाइन सिमिलैरिटी दो वेक्टर के डॉट प्रोडक्ट को उनके यूक्लिडियन नॉर्म (मैग्नीट्यूड) के गुणनफल से भाग देने पर मिलती है:
$$\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{A} \rVert \, \lVert \vec{B} \rVert} = \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^{2}} \; \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^{2}}}$$
डॉट प्रोडक्ट \(\vec{A} \cdot \vec{B}\), संगत घटकों के गुणनफलों का योग होता है। मैग्नीट्यूड \(\lVert \vec{A} \rVert\), घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है। मैग्नीट्यूड से भाग देने पर परिणाम सामान्यीकृत (normalize) हो जाता है, जिससे यह केवल दिशा पर निर्भर करता है, लंबाई पर नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए A = [1, 2, 3] और B = [4, 5, 6]। डॉट प्रोडक्ट है \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32\)। A का मैग्नीट्यूड है \(\sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3.7417\), और B का मैग्नीट्यूड है \(\sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8.7750\)। इसलिए \(\cos\theta = 32 / (3.7417 \times 8.7750) \approx 32 / 32.8329 \approx 0.9746\), यानी कोण लगभग 12.93° आता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या परिणाम ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। अगर वेक्टर लगभग विपरीत दिशाओं में इशारा करते हैं, तो कोसाइन सिमिलैरिटी ऋणात्मक होती है — ठीक विपरीत दिशा में होने पर यह −1 तक पहुँच जाती है।
अगर वेक्टर की लंबाई अलग-अलग हो तो? कैलकुलेटर केवल समान (ओवरलैपिंग) आयामों की तुलना करता है, यानी छोटे वेक्टर की लंबाई तक। सार्थक परिणाम के लिए समान आयाम वाले वेक्टर का उपयोग करें।
यह यूक्लिडियन दूरी से कैसे अलग है? कोसाइन सिमिलैरिटी मैग्नीट्यूड को नज़रअंदाज़ कर केवल दिशा पर ध्यान देती है, इसलिए एक ही दिशा में इशारा करने वाले दो वेक्टर पूरी तरह समान माने जाते हैं — भले ही एक दूसरे से कहीं ज़्यादा लंबा हो।
