बेलनाकार निर्देशांक क्या होते हैं?
बेलनाकार निर्देशांक त्रि-आयामी (3D) अंतरिक्ष में किसी बिंदु को त्रिज्या r, कोण θ और ऊँचाई z की मदद से दर्शाते हैं। ये असल में 2D ध्रुवीय (polar) निर्देशांकों का ही विस्तार हैं, जिनमें कार्तीय z-अक्ष को ज्यों का त्यों जोड़ दिया जाता है। यह प्रणाली ऐसी समस्याओं के लिए सबसे उपयुक्त है जहाँ किसी अक्ष के चारों ओर घूर्णन समरूपता (rotational symmetry) होती है — जैसे पाइप, बेलन, विद्युत-चुम्बकीय क्षेत्र और द्रव प्रवाह।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले रूपांतरण की दिशा चुनें। कार्तीय → बेलनाकार के लिए x, y और z के मान भरें; कैलकुलेटर आपको r, θ (डिग्री में) और z लौटा देगा। बेलनाकार → कार्तीय के लिए r, θ (डिग्री) और z दर्ज करें और x, y तथा z प्राप्त करें। कोण की गणना दो-तर्क वाले आर्कटैंजेंट (atan2) से की जाती है, ताकि हमेशा सही चतुर्थांश (quadrant) चुना जाए।
सूत्र की व्याख्या
त्रिज्या z-अक्ष से सीधी रेखा में नापी गई दूरी है: $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$। कोण के लिए $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\ x)$$ का प्रयोग होता है, जो −180° और 180° के बीच मान देता है और चारों चतुर्थांशों तथा अक्षों को सही ढंग से संभालता है। ऊँचाई \(z\) दोनों प्रणालियों में समान रहती है। इसका उल्टा रूपांतरण है $$x = r\cos\theta$$ और $$y = r\sin\theta$$।
हल किया गया उदाहरण
आइए कार्तीय बिंदु (3, 4, 5) को बदलें। त्रिज्या होगी $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$। कोण होगा \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53.13°\)। ऊँचाई 5 ही बनी रहती है। इस प्रकार बेलनाकार निर्देशांक हैं (5, 53.13°, 5)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
arctan(y/x) के बजाय atan2 का प्रयोग क्यों? साधारण arctan चतुर्थांश की जानकारी खो देता है और जब x = 0 हो तो अपरिभाषित रहता है। atan2 हर स्थिति को सही तरह से संभालता है।
कोण डिग्री में होते हैं या रेडियन में? सुविधा के लिए यह कैलकुलेटर θ को डिग्री में दिखाता और स्वीकार करता है; अंदरूनी गणना में त्रिकोणमितीय फलनों के लिए इसे रेडियन में बदल लेता है।
अगर x और y दोनों शून्य हों तो? तब बिंदु z-अक्ष पर होता है, इसलिए r = 0 होगा और परंपरा के अनुसार θ को 0° माना जाता है।
