ما هي الإحداثيات الأسطوانية؟
تصف الإحداثيات الأسطوانية موقع نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام نصف القطر \(r\) والزاوية \(\theta\) والارتفاع \(z\). وهي امتداد للإحداثيات القطبية في المستوى ثنائي الأبعاد، مع الاحتفاظ ببساطة بمحور z الديكارتي. ويُعد هذا النظام مثاليًا للمسائل التي تتمتع بتماثل دوراني حول محور معين — مثل الأنابيب والأسطوانات والمجالات الكهرومغناطيسية وتدفق الموائع.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر اتجاه التحويل أولًا. في حالة من الديكارتية إلى الأسطوانية، أدخِل قيم x وy وz، فتُرجِع الأداة r وθ (بالدرجات) وz. أما في حالة من الأسطوانية إلى الديكارتية، فأدخِل r وθ (بالدرجات) وz للحصول على x وy وz. تُحسب الزاوية باستخدام دالة الظل العكسي ذات الوسيطين (atan2)، بحيث يتم دائمًا اختيار الربع الصحيح بدقة.
شرح الصيغة
نصف القطر هو المسافة المستقيمة من محور z: $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ أما الزاوية فتُحسب بالعلاقة $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\ x)$$ التي تُعطي قيمة بين \(-180°\) و\(180°\) وتتعامل بشكل صحيح مع جميع الأرباع الأربعة ومع المحاور. أما الارتفاع \(z\) فيبقى نفسه في كلا النظامين. والتحويل العكسي يكون عبر $$x = r\cos\theta$$ و$$y = r\sin\theta$$
مثال محلول
لنحوّل النقطة الديكارتية (3، 4، 5). نصف القطر يساوي \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). والزاوية هي \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53.13°\). أما الارتفاع فيبقى 5. وبذلك تكون الإحداثيات الأسطوانية (5، 53.13°، 5).
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم atan2 بدلًا من arctan(y/x)؟ لأن دالة arctan المجردة تفقد معلومات الربع وتصبح غير معرّفة عندما تكون \(x = 0\)، في حين تتعامل atan2 مع كل الحالات بشكل صحيح.
هل الزوايا بالدرجات أم بالراديان؟ تعرض هذه الحاسبة قيمة θ وتقبلها بالدرجات لسهولة الاستخدام، لكنها تحوّلها داخليًا إلى راديان من أجل الدوال المثلثية.
ماذا لو كانت قيمتا x وy تساويان صفرًا؟ تكون النقطة عندئذٍ واقعة على محور z، فيكون \(r = 0\) وتؤخذ الزاوية θ اصطلاحًا 0°.
